設 a > 0，把 ln(x + sqrt(a^2 + x^2)) 改寫成反雙曲正弦的形式。

Step-by-step solution

1. 1

   先回憶 arsinh 的對數形式。 解 $\sinh t=u$ 求 $t$，得到

   $\operatorname{arsinh}(u)=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$

   注意根號下的 $+1$：標準形式沒有自由參數，所以題目的式子必須先縮放成那個形狀。這個式子經常以 $\dfrac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$ 的反導函數之姿出現，這正是這個改寫值得記住的原因。

2. 2

   把變數用 $a$ 縮放。 把 $u=\dfrac{x}{a}$ 代進恆等式：

   $\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)=\ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)$

3. 3

   化簡根式。 通分到 $a^{2}$ 上，並利用 $a>0$ 使 $\sqrt{a^{2}}=a$：

   $\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}=\sqrt{\frac{x^{2}+a^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}$

   這裡 $a>0$ 這個假設不可或缺；若 $a<0$ 就會冒出絕對值，最後的常數也會跟著改變。

4. 4

   把兩項通分到 $a$ 上。

   $\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)=\ln\left(\frac{x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)-\ln a$

   這裡用了 $\ln\frac MN=\ln M-\ln N$。

5. 5

   整理成題目要的答案。

   $\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)=\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)+\ln a$

   這兩個式子只差一個加法常數 $\ln a$，這正是為什麼它們會在不同的積分表裡，同時被當成 $\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$ 的合法反導函數。

6. 6

   做數值驗證。 取 $a=2.7$ 與 $x=1.3$：左邊是 $\ln(1.3+\sqrt{7.29+1.69})=1.4578391$，而 $\operatorname{arsinh}(0.4814815)+\ln 2.7=0.4645873+0.9932518=1.4578391$ ✓。