計算 (x³ + 6) 對 x 的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   用線性性質把兩項拆開。

   $\int\left(x^3+6\right)dx=\int x^3\,dx+\int 6\,dx$

2. 2

   寫出冪次法則，並取 $n=3$ 來用。

   $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq-1)$

   $\int x^3\,dx=\frac{x^{4}}{4}$

   指數是加一——常見的失手是把它減一，那其實是求導的套路。

3. 3

   給常數項積分。

   $\int 6\,dx=6x$

4. 4

   寫出一般的反導函數。 一個常數就涵蓋了整族反導函數：

   $\int\left(x^3+6\right)dx=\frac{x^4}{4}+6x+C$

5. 5

   求導驗證。 $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^4}{4}+6x\right)=x^3+6$ $\checkmark$。數值上取 $x=1.1$，差商給出 $7.331$，而 $1.1^3+6=7.331$ $\checkmark$。