計算 (x² − x − 6)/|x + 2| 在 x 趨近 −2 時的極限，或說明它不存在。

Step-by-step solution

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   檢查形式並把分子因式分解。 代入 $x=-2$ 得到 $\frac{4+2-6}{0}=\frac{0}{0}$，是不定型。把分子因式分解：

   $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2),$

   於是式子變成 $\dfrac{(x-3)(x+2)}{|x+2|}$。因式 $(x+2)$ 出現在上面，也以絕對值的形式出現在下面——這就是必須做單側分析的訊號。

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   弄懂絕對值為什麼不讓你一次約掉。 對 $t\ne0$，$\frac{t}{|t|}$ 在 $t>0$ 時是 $+1$，在 $t<0$ 時是 $-1$。這裡 $t=x+2$ 恰好在極限點變號，所以不管你把鏡頭拉到離 $-2$ 多近，這個商都在 $+1$ 與 $-1$ 之間跳。兩側必須分開處理。

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   計算左極限。 對 $x<-2$ 有 $x+2<0$，所以 $|x+2|=-(x+2)$，而

   $\frac{(x-3)(x+2)}{-(x+2)}=-(x-3)=3-x\ \longrightarrow\ 3-(-2)=5.$

   所以 $\displaystyle\lim_{x\to-2^{-}}=5$。

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   計算右極限。 對 $x>-2$ 有 $x+2>0$，所以 $|x+2|=x+2$，而

   $\frac{(x-3)(x+2)}{x+2}=x-3\ \longrightarrow\ -2-3=-5.$

   所以 $\displaystyle\lim_{x\to-2^{+}}=-5$。

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   下結論並用數值檢查。 由於 $5\ne-5$，兩個單側極限不一致，所以雙側極限不存在。數值上，在 $x=-2.001$ 時商是 $5.001$，在 $x=-1.999$ 時是 $-4.999$ ✓——圖形在 $x=-2$ 有一個高度為 $10$ 的跳躍。如果分母是 $x+2$ 而不是 $|x+2|$，極限就會存在而且等於 $-5$。