求下列各函數的導數：y = 1/root x、y = x/2 - 2/x、y = x 乘以 (root x 減 x)，以及 y = (3x - 2)(3x + 2)。

Step-by-step solution

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   注意這四題的共通點。 它們照現在的寫法，沒有一個是單純的冪次和——有根式、有分式、有乘積。冪函數法則 $\dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 只適用於冪次，所以每一個都得先改寫。這麼做幾乎總是比搬出商法則或乘積法則來得快。

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   (1) 把根式改寫成負的分數冪。

   $y=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}\ \Longrightarrow\ y'=-\tfrac12 x^{-3/2}=-\frac{1}{2x^{3/2}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}.$

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   (2) 把分式拆成兩個簡單的項。

   $y=\tfrac12 x-2x^{-1}\ \Longrightarrow\ y'=\tfrac12-2(-1)x^{-2}=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^{2}}.$

   第二項的變號是常見的陷阱：$-2x^{-1}$ 微分後得到 $+2x^{-2}$。

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   (3) 先把乘積展開再微分。

   $y=x\left(x^{1/2}-x\right)=x^{3/2}-x^{2}\ \Longrightarrow\ y'=\tfrac32 x^{1/2}-2x=\frac{3\sqrt{x}}{2}-2x.$

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   (4) 把這對共軛式乘開。 它是平方差，所以中間項互相抵消：

   $y=(3x)^{2}-2^{2}=9x^{2}-4\ \Longrightarrow\ y'=18x.$

   常數 $-4$ 微分後是 $0$。

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   把四個答案收攏起來。

   $y'=-\frac{1}{2x^{3/2}},\qquad y'=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^{2}},\qquad y'=\frac{3\sqrt{x}}{2}-2x,\qquad y'=18x.$

   對 (1) 與 (3)，定義域是 $x>0$；對 (2) 則是 $x\neq 0$。每個結果都用原始未改寫形式的符號微分確認過。