用導數的極限定義證明 2x³ − 1 的導數是 6x²。

Step-by-step solution

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   先寫下定義。 對 $f(x)=2x^3-1$ 而言，導數是 $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。整個證明就是把這個商式化簡到「$h\to 0$ 只是代入」的程度。

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   展開 $f(x+h)$。 利用 $(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$，可得 $f(x+h)=2x^3+6x^2h+6xh^2+2h^3-1$。

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   減去 $f(x)$。 $2x^3$ 與 $-1$ 互相消掉，剩下 $f(x+h)-f(x)=6x^2h+6xh^2+2h^3$。留下來的每一項都至少帶一個 $h$ 因子，這正是商式不會發散的原因。

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   同除以 $h$。 把 $h$ 提出來得到 $\frac{h\left(6x^2+6xh+2h^2\right)}{h}=6x^2+6xh+2h^2$，這對每個 $h\neq 0$ 都成立 —— 而極限要的也就只有這些。

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   取極限。 剩下的式子是 $h$ 的多項式，所以直接代入是合法的：$\lim_{h\to 0}\left(6x^2+6xh+2h^2\right)=6x^2$。

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   寫下結論。 因此 $\frac{d}{dx}(2x^3-1)=6x^2$，與冪次法則相符，也確認了加法常數 $-1$ 完全沒有貢獻。