求 f(x) = cos²x 的反導函數，並求它的導函數。

Step-by-step solution

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   用降冪公式把平方換掉。 正弦、餘弦的平方沒辦法直接套冪次法則積分，但可以線性化：

   $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

   它是由 $\cos 2x=2\cos^2x-1$ 移項而來，也是處理 $\int\cos^2$ 或 $\int\sin^2$ 的標準第一步。

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   把化簡後的積分拆開。

   $\int\cos^2 x\,dx=\frac{1}{2}\int 1\,dx+\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx$

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   逐項積分。 第二項因為內層是 $2x$，需要補上 $\tfrac1k$ 這個因子：

   $\frac{1}{2}\int 1\,dx=\frac{x}{2},\qquad\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2}=\frac{\sin 2x}{4}$

   $\int\cos^2 x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$

4. 4

   順便用連鎖律求 $f$ 的導函數。 把 $f(x)=(\cos x)^2$ 看成合成函數：

   $f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$

   最後一步用的是二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$。

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   把反導函數微分回去驗算。

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right)=\frac{1}{2}+\frac{2\cos 2x}{4}=\frac{1+\cos 2x}{2}=\cos^2 x\qquad\checkmark$

   取 $x=0.9$ 數值檢查：反導函數的導數是 $0.386399$，而 $\cos^2(0.9)=0.386399$ $\checkmark$。另外那個線性項 $\tfrac{x}{2}$ 也對得上 $\cos^2$ 在一個週期上的平均值 $\tfrac12$。