求 e^(i·ω·x) 對 ω 從負無窮大到正無窮大的積分，其中 x 是參數。

Step-by-step solution

1. 1

   先在對稱的有限區間上積分。 $(-\infty,\infty)$ 上的瑕積分是透過有限區間的極限來定義的，所以先算 $\int_{-A}^{A}$。當 $x\ne 0$ 時，關於 $\omega$ 的反導函數是 $\dfrac{1}{ix}e^{i\omega x}$，於是

   $\int_{-A}^{A}e^{i\omega x}\,d\omega=\frac{1}{ix}\left(e^{iAx}-e^{-iAx}\right)$

2. 2

   把指數化成正弦。 用 $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$，取 $\theta=Ax$：

   $\int_{-A}^{A}e^{i\omega x}\,d\omega=\frac{2i\sin(Ax)}{ix}=\frac{2\sin(Ax)}{x}$

   這就是 $2A\,\operatorname{sinc}(Ax)$——在 $x=0$ 處高為 $2A$ 的一個尖峰，而它的總面積保持不變。

3. 3

   逐點取 $A\to\infty$，看看它是怎麼失效的。 對固定的 $x\ne 0$，因子 $\sin(Ax)$ 一直在 $-1$ 與 $1$ 之間振盪，永遠定不下來，所以 $\dfrac{2\sin(Ax)}{x}$ 沒有極限。當 $x=0$ 時被積函數恆為 $1$，$\int_{-A}^{A}1\,d\omega=2A\to\infty$。兩種情形下這個積分在普通（黎曼或勒貝格）意義下都發散。

4. 4

   改成用平滑函數去檢驗這一族函數。 儘管 $\dfrac{2\sin(Ax)}{x}$ 沒有逐點極限，它的面積卻是常數：

   $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(Ax)}{x}\,dx=2\pi\qquad\text{對每個 }A>0$

   而且隨著 $A$ 增大，質量越來越緊地集中到 $x=0$ 附近（遠離原點的振盪在與任意平滑測試函數 $\varphi$ 加權之後會互相抵消）。這恰好就是一個 delta 列的定義性行為：

   $\lim_{A\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(Ax)}{x}\varphi(x)\,dx=2\pi\varphi(0)$

5. 5

   把兩個答案都寫出來，並說明各自適用於哪裡。 作為普通的瑕積分，這個式子不收斂。作為廣義函數——也就是傅立葉分析中採用的意義，此時它是常值函數 $1$ 的反轉換——則有

   $\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}\,d\omega=2\pi\,\delta(x)$

   其中的 $2\pi$ 與約定有關：若採用對稱的 $\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ 轉換約定，這個等式仍寫作 $\int e^{i\omega x}\,d\omega=2\pi\delta(x)$，只是轉換對的兩側各帶一個 $\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$。