求 x 平方乘以 e 的 x 次方對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   認出這是乘積型，並挑 $u$ 讓多項式縮小。 被積函數是多項式乘指數函數，這是分部積分的經典訊號：

   $\int u\,dv=uv-\int v\,du$

   取 $u=x^2$、$dv=e^x\,dx$。理由是：微分 $x^2$ 會降低它的次數，而 $e^x$ 積分後不變 —— 所以每用一次公式，都嚴格更接近一個算得出來的積分。反過來選（$u=e^x$）會把次方升到 $x^3$，讓問題更糟。

2. 2

   第一次套公式。 取 $u=x^2$、$dv=e^x\,dx$，得 $du=2x\,dx$、$v=e^x$，所以

   $\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int e^x\cdot 2x\,dx=x^2e^x-2\int xe^x\,dx$

   剩下的積分形狀相同，只是 $x^2$ 換成 $x$：次數如預期地降了一次。

3. 3

   第二次套公式，處理 $\int xe^x\,dx$。 取 $u=x$、$dv=e^x\,dx$，則 $du=dx$、$v=e^x$：

   $\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x$

   一般而言 $\int x^n e^x\,dx$ 需要做 $n$ 次，因為每次次數只降一。這裡 $n=2$，所以剛好兩次。

4. 4

   代回並整理。 把第二個結果餵回第一個：

   $\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\big(xe^x-e^x\big)=x^2e^x-2xe^x+2e^x$

   提出共同的 $e^x$ 就得到乾淨的形式

   $\int x^2e^x\,dx=e^x\left(x^2-2x+2\right)+C$

   別忘了常數 $C$：它只在最後加一次，不是每做一次分部積分就加一次。

5. 5

   微分答案來驗算。 這是不定積分永遠可用的檢查。由乘積律，

   $\frac{d}{dx}\Big[e^x\big(x^2-2x+2\big)\Big]=e^x\big(x^2-2x+2\big)+e^x\big(2x-2\big)=e^x\big(x^2-2x+2+2x-2\big)=x^2e^x$

   兩個一次項互相消掉，完全回到原本的被積函數，所以這個反導函數是對的。

6. 6

   記下可重複使用的規律。 正負交錯的結構可以推廣：

   $\int x^ne^x\,dx=e^x\left(x^n-nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}-\cdots\pm n!\right)+C$

   $n=2$ 時就是 $e^x(x^2-2x+2)+C$，與我們推導的一致。認出這個規律後，$\int x^3e^x\,dx=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+C$ 就可以直接寫下來，不必再做三次分部積分。