計算 1/(x + y + 2) 在正方形 [0,1] × [0,1] 上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先對 $x$ 積分，把 $y$ 當成常數。 被積函數是 $x$ 的一次式的倒數，所以 $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+y+2}=\Big[\ln(x+y+2)\Big]_{0}^{1}=\ln(y+3)-\ln(y+2).$ 在這個正方形上兩個引數都保持為正，所以不需要絕對值。這裡積分順序無所謂 - 被積函數對 $x$ 與 $y$ 是對稱的。

2. 2

   寫出剩下的單重積分。 $\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\frac{dx\,dy}{x+y+2}=\int_{0}^{1}\Big[\ln(y+3)-\ln(y+2)\Big]dy$ 每一塊都是平移後變數的對數，用分部積分（或直接套標準公式）可得 $\int\ln(y+a)\,dy=(y+a)\ln(y+a)-(y+a)+C.$

3. 3

   計算這兩個對數積分。 $\int_{0}^{1}\ln(y+3)\,dy=\Big[(y+3)\ln(y+3)-(y+3)\Big]_{0}^{1}=\left(4\ln 4-4\right)-\left(3\ln 3-3\right)=4\ln 4-3\ln 3-1,$ $\int_{0}^{1}\ln(y+2)\,dy=\Big[(y+2)\ln(y+2)-(y+2)\Big]_{0}^{1}=\left(3\ln 3-3\right)-\left(2\ln 2-2\right)=3\ln 3-2\ln 2-1.$ 數值上分別是 $1.2493405785$ 與 $0.9095425049$。

4. 4

   相減並整理對數。 $\left(4\ln 4-3\ln 3-1\right)-\left(3\ln 3-2\ln 2-1\right)=4\ln 4+2\ln 2-6\ln 3.$ 因為 $4\ln 4=4(2\ln 2)=8\ln 2$，這會變成 $8\ln 2+2\ln 2-6\ln 3=10\ln 2-6\ln 3.$

5. 5

   寫成單一個對數，並小心這裡的代數。 合併之後，$10\ln 2-6\ln 3=\ln\frac{2^{10}}{3^{6}}=\ln\frac{1024}{729}=0.3397980736.$ 一個看似誘人卻錯誤的改寫是 $2\ln 2+4\ln\tfrac43$，它展開後等於 $10\ln 2-4\ln 3=2.5370$ - 大約大了七倍，因為它在分母裡漏掉了兩個 $3$ 的因子。

6. 6

   用粗估檢查數量級。 在單位正方形上 $x+y+2$ 的範圍是 $2$ 到 $4$，所以被積函數落在 $\tfrac14$ 與 $\tfrac12$ 之間，平均值也必然如此。$0.3398$ 這個值舒服地落在那個範圍內，而 $4000\times 4000$ 的中點格點法給出 $0.3397980732$，確認了這個封閉形式。