沿著圓 x 平方加 y 平方等於 4 的右半部分（沿 y 遞增方向），求 (e 的 x 次方乘 sin y 減 xy) dx 加上 (xy 加 e 的 x 次方乘 cos y) dy 的線積分。

Step-by-step solution

1. 1

   確定路徑與它的端點。 $x^2+y^2=4$ 的右半圓從 $(0,-2)$ 經過 $(2,0)$ 走到 $(0,2)$。「$y$ 遞增」表示起點是 $(0,-2)$、終點是 $(0,2)$。端點很重要，因為被積式的一部分等一下會被證明與路徑無關。

2. 2

   在參數化之前先檢驗是否為恰當微分。 令 $P=e^x\sin y-xy$、$Q=xy+e^x\cos y$，

   $P_y=e^x\cos y-x,\qquad Q_x=y+e^x\cos y.$

   兩者不相等，所以這個場不是保守場，整個積分並非與路徑無關。但差異只出現在 $-xy$ 與 $xy$ 這兩項上。

3. 3

   把恰當的部分拆出來。 注意到

   $d\!\left(e^x\sin y\right)=e^x\sin y\,dx+e^x\cos y\,dy,$

   所以那兩項構成一個全微分，只取決於端點：

   $\int_L e^x\sin y\,dx+e^x\cos y\,dy=\Big[e^x\sin y\Big]_{(0,-2)}^{(0,2)}=\sin 2-\sin(-2)=2\sin 2.$

4. 4

   把剩下的部分參數化。 對 $\displaystyle\int_L -xy\,dx+xy\,dy$ 取 $x=2\cos t$、$y=2\sin t$，$t$ 從 $-\tfrac{\pi}{2}$ 走到 $\tfrac{\pi}{2}$（這樣可保持 $x\ge 0$ 且讓 $y$ 遞增，符合題目要求的方向）。於是 $dx=-2\sin t\,dt$、$dy=2\cos t\,dt$、$xy=4\sin t\cos t$：

   $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(8\sin^2 t\cos t+8\sin t\cos^2 t\right)dt.$

5. 5

   先用對稱性，再代換。 $\sin t\cos^2 t$ 在對稱區間上是奇函數，積分為 $0$。另一項令 $u=\sin t$：

   $8\int_{-1}^{1}u^2\,du=8\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{3}.$

6. 6

   把兩部分相加。 線積分為

   $\frac{16}{3}+2\sin 2\approx 7.1519,$

   這與直接對參數化積分做數值計算的結果到小數第五位吻合。