求 n 趨於無窮大時 (2n − n³)/(12 + n³) 的極限。備選項為：以上都不對、0、5、1。

Step-by-step solution

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   先看清上下兩邊的最高次項。 分子分母關於 $n$ 都是三次的：分子的首項是 $-n^{3}$，分母的首項是 $+n^{3}$。次數相同時，極限就等於這兩個首項係數之比。

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   分子分母同除以 n^3。 這一步把上面那句斷言變成實打實的推導：

   $\frac{2n-n^{3}}{12+n^{3}}=\frac{\dfrac{2}{n^{2}}-1}{\dfrac{12}{n^{3}}+1}.$

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   讓那些負次方趨於零。 $\dfrac{2}{n^{2}}\to 0$，$\dfrac{12}{n^{3}}\to 0$，於是只剩

   $\lim_{n\to\infty}\frac{0-1}{0+1}=-1.$

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   盯住符號——這才是本題的要害。 分子的三次項是負的，所以數列從下方趨近 $-1$，答案是負數。把 $2n-n^{3}$ 看成 $n^3$ 前面是正號，就會得到那個誘人的錯誤答案 $1$。

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   回頭對照給出的選項。 算出來的 $-1$ 既不是 $0$，也不是 $5$，更不是 $1$。所以正確的選擇是 A：以上都不對。

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   做個數值抽查。 取 $n=100$，商是 $\dfrac{200-1000000}{12+1000000}=-0.9998$；取 $n=1000$ 是 $-0.999998$——明顯在收斂到 $-1$。