求 (1/i) × e^(ix) 在 x 趨近無窮大時的極限。

Step-by-step solution

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   先化簡常數 $\dfrac{1}{i}$。 分子分母同乘 $i$ 並利用 $i^{2}=-1$：

   $\frac{1}{i}=\frac{i}{i^{2}}=\frac{i}{-1}=-i$

   所以原式就是 $-ie^{ix}$。用這種方式把 $i$ 從分母清掉，正是有理化在複數裡的對應手法。

2. 2

   用歐拉公式展開。 因為 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$，

   $-i\left(\cos x+i\sin x\right)=-i\cos x-i^{2}\sin x=\sin x-i\cos x$

   實部是 $\sin x$，虛部是 $-\cos x$。

3. 3

   逐一檢查兩個分量有沒有極限。 複數值函數收斂的充要條件，是它的實部與虛部都收斂。這裡 $\sin x$ 永遠在 $-1$ 與 $1$ 之間來回震盪，$\cos x$ 也一樣，所以當 $x\to\infty$ 時兩個部分都沒有極限。

4. 4

   注意模長並不會衰減。 因為 $\left|e^{ix}\right|=1$ 且 $\left|-i\right|=1$，

   $\left|\frac{1}{i}e^{ix}\right|=1\quad\text{對每個 }x$

   這個點永遠不會向內盤旋：它以固定速率在單位圓上跑，每隔 $2\pi$ 就回到原來的位置。

5. 5

   結論是極限不存在。 有兩個子數列安定在不同的值上——在 $x=2\pi n$ 時原式為 $-i$，而在 $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n$ 時為 $1$。極限存在會逼得這兩者相等，所以

   $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{i}e^{ix}\ \text{不存在。}$