計算逐次積分：x 從 0 到 1 積分，內層對 y 從 y = x 積到 y = √(1 − x²) + 1，被積函數為 y。

Step-by-step solution

1. 1

   先算內層積分，這時 $x$ 當常數看。 被積函數就是 $y$，所以

   $\int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}+1}y\,dy=\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}+1}=\frac12\Bigl(\bigl(\sqrt{1-x^{2}}+1\bigr)^{2}-x^{2}\Bigr).$

   展開之前先留意：在 $[0,1]$ 上兩個限是相容的——上限 $\sqrt{1-x^{2}}+1$ 至少為 $1$，而下限 $x$ 至多為 $1$，所以積分區域沒有退化。

2. 2

   把平方展開——根號 $\sqrt{\;}$ 就是在這裡留下來的。

   $\bigl(\sqrt{1-x^{2}}+1\bigr)^{2}=(1-x^{2})+2\sqrt{1-x^{2}}+1=2-x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}.$

   交叉項 $2\sqrt{1-x^{2}}$ 是唯一的非多項式部分，其餘都是初等的。

3. 3

   化簡內層結果。

   $\frac12\Bigl(2-x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}-x^{2}\Bigr)=\frac12\Bigl(2-2x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}\Bigr)=1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}.$

   於是二重積分變成了一個單積分 $\displaystyle\int_{0}^{1}\bigl(1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}\bigr)dx$。

4. 4

   拆開逐塊計算。 前兩塊可以直接寫出：

   $\int_{0}^{1}1\,dx=1,\qquad \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac13.$

   至於第三塊，$y=\sqrt{1-x^{2}}$ 在 $[0,1]$ 上畫出的正是單位圓在第一象限的四分之一弧，所以它的積分就是四分之一圓的面積 $\pi/4$——不需要三角代換。

5. 5

   合併並檢驗。

   $1-\frac13+\frac{\pi}{4}=\frac23+\frac{\pi}{4}.$

   數值上 $2/3+\pi/4=1.4520648301$，而對 $1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}$ 在 $[0,1]$ 上作自適應數值積分得到 $1.4520648301$——十位小數完全一致。