求 x⁵ / √(x² + 1) 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   利用 $x$ 是奇次方這一點。 因為指數 $5$ 是奇數，可以拆出一個 $x$ 與 $dx$ 配成 $du$，剩下的 $x^{4}$ 是偶次方，能完全用 $x^{2}$ 表示。這正是 $u=x^{2}+1$ 在這裡管用、而對偶次方就不管用的標準理由。

2. 2

   寫出代換。

   $u=x^{2}+1\ \Longrightarrow\ du=2x\,dx\ \Longrightarrow\ x\,dx=\tfrac12\,du,\qquad x^{2}=u-1$

   於是

   $x^{5}dx=\left(x^{2}\right)^{2}\cdot x\,dx=(u-1)^{2}\cdot\tfrac12\,du$

3. 3

   把整個積分改寫成 $u$ 的形式。

   $\int\frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\frac12\int\frac{(u-1)^{2}}{\sqrt u}\,du=\frac12\int\left(u^{3/2}-2u^{1/2}+u^{-1/2}\right)du$

   把 $(u-1)^2=u^2-2u+1$ 展開後每項除以 $u^{1/2}$，等於把每個指數都降低 $\tfrac12$。

4. 4

   用法則 $\int u^{p}du=\frac{u^{p+1}}{p+1}$ 逐項積分。

   $\int u^{3/2}du=\tfrac25u^{5/2},\qquad \int u^{1/2}du=\tfrac23u^{3/2},\qquad \int u^{-1/2}du=2u^{1/2}$

5. 5

   合併，並把外面的二分之一乘進去。

   $\frac12\left(\frac25u^{5/2}-\frac43u^{3/2}+2u^{1/2}\right)=\frac15u^{5/2}-\frac23u^{3/2}+u^{1/2}$

6. 6

   代換回原變數並檢驗。

   $\int\frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\frac15\left(x^{2}+1\right)^{5/2}-\frac23\left(x^{2}+1\right)^{3/2}+\left(x^{2}+1\right)^{1/2}+C$

   在 $x=1.3$ 處對它做數值求導得 $2.263813$，而被積函數在該點的值也是 $2.263813$ ✓。