解微分方程式 (x + y + 1) dx + (2x + 2y + 5) dy = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   動手之前先檢驗是否正合。 記 $M=x+y+1$、$N=2x+2y+5$。則

   $\frac{\partial M}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2$

   兩者不相等，所以這個方程式不是正合的，也就沒有可以直接讀出來的位勢函數。

2. 2

   看出結構上的線索。 兩個係數都只是 $x+y$ 這一個組合的函數：

   $M=(x+y)+1,\qquad N=2(x+y)+5$

   只要方程式對 $x$ 與 $y$ 的依賴都經由 $x+y$，代換 $u=x+y$ 就能把它化成 $u$ 與 $x$ 的可分離方程式。

3. 3

   換變數。 令 $u=x+y$，則 $y=u-x$、$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}-1$。把原方程式同除以 $dx$ 並解出 $y'$，

   $\frac{dy}{dx}=-\frac{x+y+1}{2x+2y+5}=-\frac{u+1}{2u+5}$

   於是

   $\frac{du}{dx}-1=-\frac{u+1}{2u+5}\ \Longrightarrow\ \frac{du}{dx}=\frac{2u+5-(u+1)}{2u+5}=\frac{u+4}{2u+5}$

4. 4

   分離變數，並把假分式拆開。 把含 $u$ 的都移到同一邊，

   $\frac{2u+5}{u+4}\,du=dx,\qquad \frac{2u+5}{u+4}=\frac{2(u+4)-3}{u+4}=2-\frac{3}{u+4}$

   改寫成「多項式加真分式」，正是讓左邊能積出封閉形式的關鍵。

5. 5

   兩邊同時積分。

   $\int\left(2-\frac{3}{u+4}\right)du=\int dx\ \Longrightarrow\ 2u-3\ln|u+4|=x+C$

6. 6

   代回原變數並整理。 由 $u=x+y$，

   $2(x+y)-3\ln|x+y+4|=x+C\ \Longrightarrow\ x+2y-3\ln|x+y+4|=C$

7. 7

   用隱函數微分驗證。 對 $F=x+2y-3\ln|x+y+4|$，

   $F_{x}=1-\frac{3}{x+y+4},\qquad F_{y}=2-\frac{3}{x+y+4}$

   而 $F_{x}N-F_{y}M=0$ 恆成立（在 $(0.5,1.2)$、$(2,-0.3)$ 與 $(-1,3)$ 三處以機器精度數值驗證過），所以 $F$ 的等高線正是解曲線。等價地說，$F_{x}/M=F_{y}/N=\dfrac{1}{x+y+4}$，這顯示 $\mu=\dfrac{1}{x+y+4}$ 就是藏在代換背後的積分因子。