求當 x 趨於無窮大時 √((36x² − 25x + 16)/(9x² − 4x + 1)) 的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   先處理根號裡面的部分。 平方根在 $[0,\infty)$ 上連續，所以

   $\lim_{x\to\infty}\sqrt{g(x)} = \sqrt{\lim_{x\to\infty} g(x)}$

   前提是裡面的極限存在且非負。於是先算那個有理函數，最後再開一次方。

2. 2

   分子分母同除以最高次方 $x^2$。 這是處理無窮遠處極限的標準動作，它把所有低次項都變成會趨於零的東西：

   $\frac{36x^2-25x+16}{9x^2-4x+1} = \frac{36 - \dfrac{25}{x} + \dfrac{16}{x^2}}{9 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}}$

3. 3

   讓那些倒數項趨於零。 當 $x\to\infty$ 時，$\tfrac{25}{x}$、$\tfrac{16}{x^2}$、$\tfrac{4}{x}$ 與 $\tfrac{1}{x^2}$ 都趨於 $0$：

   $\lim_{x\to\infty}\frac{36x^2-25x+16}{9x^2-4x+1} = \frac{36}{9} = 4$

   分子與分母次數相同，所以極限就等於首項係數之比。

4. 4

   開平方。

   $\sqrt{4} = 2$

   答案是 $+2$，也就是主平方根；寫成 $\pm$ 是錯的，因為這裡討論的式子自始至終都是一個非負的平方根。

5. 5

   當心那條誘人的捷徑。 寫成 $\sqrt{36x^2}/\sqrt{9x^2} = 6x/3x = 2$ 在這道題裡碰巧得到了正確答案，但那只是因為兩個首項係數恰好都是完全平方數，而且 $x > 0$。穩妥的路子永遠是先把根號裡面化簡乾淨。

6. 6

   數值驗證。 取 $x = 1000$：分子 $= 36{,}000{,}000 - 25{,}000 + 16 = 35{,}975{,}016$，分母 $= 9{,}000{,}000 - 4{,}000 + 1 = 8{,}996{,}001$，比值 $= 3.999001$，平方根 $= 1.999750$。取 $x = 10^6$ 時開方得 $1.99999975$ ✓——確實在向 $2$ 收斂，而符號計算給出的極限正好是 $2$。