求 3/x − 2/x² 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

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   用線性性質拆開，並把常數提出來。

   $\int\left(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}\right)dx=3\int\frac{dx}{x}-2\int\frac{dx}{x^2}$

   定義域是 $x\neq0$，而原函數在 $(-\infty,0)$ 與 $(0,\infty)$ 上分別有效。

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   第一項：冪次法則唯一應付不了的情形。 把 $\tfrac1x=x^{-1}$，法則 $\int x^ndx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ 會除以 $n+1=0$。所以 $n=-1$ 是例外，改用對數處理：

   $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$

   絕對值正是讓它在 $x$ 為負時仍然成立的關鍵。因此第一項貢獻 $3\ln|x|$。

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   第二項：冪次法則照常適用。 這裡 $\tfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ 而 $n+1=-1\neq0$：

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

   所以 $2\int x^{-2}dx=-\dfrac{2}{x}$。

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   套上前面的負號。 被積函數是把第二塊減掉：

   $-2\int x^{-2}dx=-\left(-\frac{2}{x}\right)=+\frac{2}{x}$

   這個變號是最常被漏掉的一步——答案是 $+\tfrac2x$，不是 $-\tfrac2x$。

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   合併成單一個原函數。

   $\int\left(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}\right)dx=3\ln|x|+\frac{2}{x}+C$

   兩個看起來相似的項，產生了兩種完全不同型別的函數——一個對數，一個有理式。

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   微分回去驗證。 $\dfrac{d}{dx}\left[3\ln|x|+\tfrac2x\right]=\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}$ ✓。數值上，在 $x=0.7,\ 2.3,\ -1.6$ 處的對稱差商與被積函數吻合到五位數字 ✓，其中也包含了一個負的 $x$。