在區域 E：2 ≤ x ≤ 3、0 ≤ y ≤ 2x − 2、0 ≤ z ≤ −2x + 4y − 4 上，求 2x − 2yz 的三重積分，並給出精確值。

Step-by-step solution

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   固定 x 與 y，先對 z 積分。 把上限記作 $Z=-2x+4y-4$，則 $\int_0^{Z}(2x-2yz)\,dz=2xZ-yZ^2$。這裡只有 $z$ 在動，所以 $2x$ 積成 $2xZ$，$-2yz$ 積成 $-yZ^2$。

2. 2

   代入上限並展開。 取 $Z=4y-2x-4$，內層結果展開成 $-16y^3+16xy^2+32y^2-4x^2y-8xy-16y-4x^2-8x$。現在就完整展開，比把 $Z$ 折著帶進下一層積分更保險。

3. 3

   對 y 從 0 積到 2x − 2。 逐項求反導函數後代入 $y=2x-2$，得到最外層的被積函數 $-\frac{88}{3}x^4+\frac{616}{3}x^3-528x^2+\frac{1600}{3}x-\frac{544}{3}$，它可以因式分解成 $-\frac{8}{3}(x-1)\left(11x^3-66x^2+132x-68\right)$。

4. 4

   對 x 求反導函數。 $\int\left(-\frac{88}{3}x^4+\frac{616}{3}x^3-528x^2+\frac{1600}{3}x-\frac{544}{3}\right)dx=-\frac{88}{15}x^5+\frac{154}{3}x^4-176x^3+\frac{800}{3}x^2-\frac{544}{3}x$。

5. 5

   從 x = 2 代到 x = 3。 反導函數給出 $-\frac{466}{5}$，也就是 $-93.2$。注意答案是負的，因為在楔形的大部分區域上 $-2yz$ 這一項佔上風。

6. 6

   數值檢查。 用同樣的上下限做巢狀的適應性數值積分，回傳 $-93.200000$，與 $-\frac{466}{5}=-93.2$ 吻合到小數點後六位。

7. 7

   留意 y 那一步的算術。 一份流傳很廣的解答把答案寫成 $-\frac{4868}{45}\approx -108.2$；那個值過不了數值檢查，錯誤出在把展開後對 $y$ 的反導函數代入 $y=2x-2$ 的時候。