求 (1 − u²) 除以 (a − b u²) 的 3/2 次方，對 u 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先用微分猜出關鍵的原函數。 與其做三角代換，不如用乘積律去微分 $\dfrac{u}{\sqrt{a-bu^2}}$：

   $\frac{d}{du}\left[u(a-bu^2)^{-1/2}\right]=\frac{1}{\sqrt{a-bu^2}}+\frac{bu^2}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{a}{(a-bu^2)^{3/2}}$

   於是

   $\int\frac{du}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{u}{a\sqrt{a-bu^2}}$

2. 2

   把分子拆開。

   $\int\frac{1-u^2}{(a-bu^2)^{3/2}}\,du=\int\frac{du}{(a-bu^2)^{3/2}}-\int\frac{u^2\,du}{(a-bu^2)^{3/2}}$

   第一塊已經算完了；只有含 $u^2$ 的那一塊還要動手。

3. 3

   把 $u^2$ 改寫成分母自己的式子。 恆等式

   $u^2=\frac{a-(a-bu^2)}{b}$

   讓我們可以寫成

   $\frac{u^2}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{a}{b(a-bu^2)^{3/2}}-\frac{1}{b\sqrt{a-bu^2}}$

   這就是全部的訣竅所在：它把一個難搞的分子換成兩個我們早已認得的積分，完全不必動用三角代換。

4. 4

   把各塊組起來。 用第 1 步的結果，以及 $\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{a-bu^2}}=\frac{1}{\sqrt b}\arcsin\!\left(u\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)$：

   $I=\frac{u}{a\sqrt{a-bu^2}}-\frac{u}{b\sqrt{a-bu^2}}+\frac{1}{b\sqrt b}\arcsin\!\left(u\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)+C$

   把前兩項以 $ab$ 為公分母合併，就得到係數 $\dfrac{b-a}{ab}$。

5. 5

   把答案微分回去驗證。 取具體的 $a=2$、$b=0.7$。在 $u=0.1$ 處把封閉形式做數值微分得到 $0.3518635229$，而被積函數 $(1-u^2)/(a-bu^2)^{3/2}$ 在 $u=0.1$ 處是 $0.3518635229$ ✓。在 $u=0.5$ 處兩者都是 $0.3042054288$ ✓。這個原函數是對的。