求 x^(x+1)/(1+x)^x − 1/e 在 x 趨近正無窮大時的極限。

Step-by-step solution

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   改寫這個商，讓經典的 $e$ 極限現形。 從分子分出一個 $x$：$\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}=x\cdot\frac{x^{x}}{(1+x)^{x}}=x\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}=x\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}.$ 就是這一步，把一座嚇人的指數塔變成裡面裝著已知極限的東西。

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   計算括號裡那個因式。 標準極限 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\tfrac1x\right)^{x}=e$ 給出 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}\longrightarrow\frac{1}{e},$ 所以這個因式安定在常數 $e^{-1}\approx 0.3678794$——它既不會消失，也不會爆掉。

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   把各塊乘回去。 一個趨近正常數 $1/e$ 的因式，乘上一個 $x\to+\infty$ 的因式，結果會發散：$\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}=x\left(1+\frac1x\right)^{-x}\sim\frac{x}{e}\longrightarrow +\infty.$ 所以這個式子的第一項無界地成長，速率是一次的 $x/e$。

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   減去那個常數。 由於 $\dfrac1e$ 是固定的有限數，把它拿掉完全不影響發散：$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{1}{e}\right)=+\infty.$ 常數永遠抵消不掉發散項——只有本身也像 $x/e$ 一樣成長的東西才辦得到。

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   看看更犀利的減法會給出什麼。 展開 $x\ln\!\left(1+\tfrac1x\right)=1-\tfrac{1}{2x}+\tfrac{1}{3x^{2}}-\cdots$ 再取指數，$x\left(1+\frac1x\right)^{-x}=\frac{x}{e}+\frac{1}{2e}-\frac{5}{24e\,x}+O\!\left(x^{-2}\right).$ 因此改成減去 $\dfrac{x}{e}$ 而不是 $\dfrac{1}{e}$，就會得到有限的極限，$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{e}\right)=\frac{1}{2e}=0.1839397206,$ 而這才是課本通常想問的版本。

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   用數值確認這兩項說法。 在 $x=10^{5}$ 時該式等於 $36788.1280560984$，而 $x/e=36787.9441171442$、$1/e=0.3678794412$。所以扣掉常數之後的差是 $36787.7601766572$——已經大得驚人而且還在往上爬——至於扣掉 $x/e$ 之後的差是 $0.1839389542$，與 $\tfrac{1}{2e}$ 相距在 $7.7\times 10^{-7}$ 以內，跟所預測的誤差項 $\tfrac{5}{24e\,x}=7.66\times 10^{-7}$ 吻合。