求 (x⁴ − 3x² + 5)/x 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

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   別急著上代換。 分母只是一個單項式，說明這個分式可以乾淨地拆開；先拆開，一個彆扭的商就變成了三個標準積分。這裡用變數代換或分部積分都是白費力氣。

2. 2

   把分子每一項都除以 $x$。 $\frac{x^4-3x^2+5}{x}=\frac{x^4}{x}-\frac{3x^2}{x}+\frac5x=x^3-3x+\frac5x.$

3. 3

   多項式部分套冪次法則。 $\displaystyle\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}$，$\displaystyle\int -3x\,dx=-\frac{3x^2}{2}$。

4. 4

   $5/x$ 這一項用對數法則。 冪次法則在指數為 $-1$ 時失效，所以改用 $\displaystyle\int\frac5x\,dx=5\ln|x|$。絕對值不能省，因為原被積函數在 $x$ 為負時同樣有定義。

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   拼起來，再求導驗證。 $\int\frac{x^4-3x^2+5}{x}\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+5\ln|x|+C.$ 求導得到 $x^3-3x+\frac5x$，正是化簡後的被積函數，說明結果沒錯。