計算 1 / x^(2/3) 對 x 從 −1 到 1 的積分。

Step-by-step solution

1. 1

   看出內部的奇異點。 被積函數 $x^{-2/3}$ 在 $x=0$ 處沒有定義，而這一點就落在積分區間內部。直接跨過這個缺口套用微積分基本定理是不合法的；必須把它當成瑕積分，並在 $0$ 處拆開：

   $\int_{-1}^{1}x^{-2/3}dx=\int_{-1}^{0}x^{-2/3}dx+\int_{0}^{1}x^{-2/3}dx$

2. 2

   求出原函數。 用冪次法則，取 $p=-\tfrac23$，於是 $p+1=\tfrac13$：

   $\int x^{-2/3}dx=\frac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}$

   實立方根 $x^{1/3}$ 在 $x$ 為負時同樣有定義，所以這一條公式兩半都適用。

3. 3

   用極限算左半邊。

   $\lim_{a\to 0^{-}}\left[3x^{1/3}\right]_{-1}^{a}=\lim_{a\to 0^{-}}\left(3a^{1/3}-3(-1)^{1/3}\right)=0+3=3$

   這裡用到 $(-1)^{1/3}=-1$。極限是有限的，因為 $x^{1/3}\to 0$ 而非 $\infty$：即使被積函數不連續，原函數仍然連續。

4. 4

   右半邊照同樣方式算。

   $\lim_{b\to 0^{+}}\left[3x^{1/3}\right]_{b}^{1}=\lim_{b\to 0^{+}}\left(3-3b^{1/3}\right)=3$

5. 5

   把兩個收斂的半邊相加。

   $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2/3}}dx=3+3=6$

   即使被積函數無界，積分依然收斂——$0$ 處那道尖峰實在太窄，圍不出無窮大的面積。

6. 6

   與一般法則對照。 在 $0$ 附近，$\int_{0}^{1}x^{-p}dx$ 恰好在 $p<1$ 時收斂。這裡 $p=\tfrac23<1$，所以收斂是可以預期的；若指數換成 $x^{-4/3}$（也就是 $p=\tfrac43>1$），兩半都會發散。被積函數的對稱性也解釋了為什麼兩半都得到同樣的 $3$。