討論 sin(x)sin(y)/(x+y)^p 在區域 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≥ 1 上的二重積分的收斂性。

Step-by-step solution

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   先做變數變換，讓權重只依賴一個變數。 被積函數只透過分母看到 $x+y$，所以令 $u=x+y$、$v=x$。於是 $y=u-v$，而 Jacobian 行列式為 $1$。約束 $x\ge0$、$y\ge0$ 變成 $0\le v\le u$，$x+y\ge1$ 變成 $u\ge1$，因此 $I(p)=\int_1^\infty \frac{1}{u^p}\left(\int_0^u \sin v\,\sin(u-v)\,dv\right)du.$

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   用積化和差公式把內層積分算掉。 取 $A=v$、$B=u-v$ 套 $\sin A\sin B=\tfrac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$，得到 $\sin v\sin(u-v)=\tfrac12[\cos(2v-u)-\cos u]$。對 $v\in[0,u]$ 積分，第一塊貢獻 $\sin u$，第二塊貢獻 $u\cos u$，所以 $\int_0^u \sin v\,\sin(u-v)\,dv=\frac{\sin u-u\cos u}{2}.$

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   把結果拆成兩條振盪的尾巴。 代回去得到 $I(p)=\frac12\int_1^\infty\frac{\sin u}{u^p}\,du-\frac12\int_1^\infty\frac{\cos u}{u^{p-1}}\,du.$ 原本二維的收斂問題，現在變成兩個形式相同的一維瑕積分。

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   對兩條尾巴分別套狄利克雷判別法。 部分積分 $\int_1^X\sin u\,du$ 與 $\int_1^X\cos u\,du$ 都有界，所以只要 $u^{-p}$ 遞減趨於 $0$，也就是 $p>0$，$\int_1^\infty \sin u/u^p\,du$ 就收斂；而 $\int_1^\infty \cos u/u^{p-1}\,du$ 則要 $p-1>0$ 才收斂。真正卡住的是第二個條件。當 $p=1$ 時第二條尾巴是 $\int_1^\infty\cos u\,du$，它一直振盪而不會穩定下來；當 $p<1$ 時它的振幅 $u^{1-p}$ 甚至還會增長，所以收斂的充要條件正是 $p>1$。

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   絕對收斂要另外判定。 取絕對值會把相消的效果全部破壞掉：$A(u)=\int_0^u|\sin v\,\sin(u-v)|\,dv$ 是線性成長的，對大的 $u$ 有 $cu\le A(u)\le Cu$，因為 $|\sin v\sin(u-v)|$ 在每個週期上的平均是正的。因此 $\iint_D|\cdot|\asymp\int_1^\infty u^{1-p}\,du$，而它收斂的充要條件是 $1-p<-1$，也就是 $p>2$。

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   把三分結論組合起來。 絕對收斂要求 $p>2$，一般收斂要求 $p>1$，所以當 $1<p\le 2$ 時積分收斂但不絕對收斂，當 $p\le 1$ 時則發散。