對 y = 10x³ − x² + 4x − 15 微分，並求解 y′ = 0。

Step-by-step solution

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   逐項套用冪次法則。 多項式的每一項都可以獨立處理，用 $\left(x^{n}\right)^{\prime}=nx^{n-1}$，再加上常數微分後為零：$\left(10x^{3}\right)^{\prime}=30x^{2}$、$\left(-x^{2}\right)^{\prime}=-2x$、$(4x)^{\prime}=4$、$(-15)^{\prime}=0$。

2. 2

   寫出導函數。 把四塊加起來，$y^{\prime}=30x^{2}-2x+4 .$

3. 3

   令導數為零並化簡。 解 $y^{\prime}=0$ 就是解 $30x^{2}-2x+4=0$。每個係數都是偶數，所以同除以 $2$：$15x^{2}-x+2=0 .$

4. 4

   改用判別式判斷，而不是硬去解根。 取 $A=15$、$B=-1$、$C=2$，$D=B^{2}-4AC=(-1)^{2}-4(15)(2)=1-120=-119<0 .$ 判別式為負，代表這個二次式沒有實根。

5. 5

   從幾何意義解讀結果。 因為 $y^{\prime}=30x^{2}-2x+4$ 恆不為零，而且領導係數為正，所以對每個實數 $x$ 都有 $y^{\prime}>0$。因此這個三次函數嚴格遞增，處處沒有水平切線，也沒有任何局部極值。