有位同學把 x 的 7 次方對 x 的積分寫成 x 的 8 次方除以 3、再加 7。請正確求出反導函數並說明錯在哪裡。

Step-by-step solution

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   先把冪次法則說精確。 對每一個指數 $n\neq -1$，

   $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

   這裡發生了兩件彼此獨立的事：指數往上加一，而且整項要除以那個新的指數 $n+1$ —— 不是舊的指數，也不是別的什麼。

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   代入 $n=7$。 新的指數是 $7+1=8$，所以

   $\int x^7\,dx=\frac{x^8}{8}+C$

3. 3

   指出這個答案裡兩處各自獨立的錯誤。 在 $\frac{x^8}{3}+7$ 裡指數 $8$ 是對的，但是（i）分母應該是 $8$，那個 $3$ 不知從何而來；（ii）常數被寫成一個特定的數 $7$，可是反導函數必須帶著一個任意常數 $C$ —— $C$ 取任何值都給出一個合格的反導函數。

4. 4

   把他的答案微分，直接證明它是錯的。 微分是任何積分自帶的檢驗工具：

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^8}{3}+7\right)=\frac{8x^7}{3}$

   這比應有的結果大了 $\frac83$ 倍，所以它不可能是 $x^7$ 的反導函數。

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   再把正確答案微分一次。

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^8}{8}+C\right)=\frac{8x^7}{8}=x^7$

   分母那個 $8$ 恰好抵掉微分的冪次法則生出來的 $8$ —— 這就是為什麼要除以新的指數。答案是 $\frac{x^8}{8}+C$。