求 x e^(−x²) 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先想清楚這一題為什麼算得出來。 與它極為相近的 $\int e^{-x^2}dx$ 沒有初等原函數。多出來的那個 $x$ 因子改變了一切：它（相差一個常數）正是指數的導數，所以整個積分只是一次單純的代換。看出這個區別，就是本題全部的洞見。

2. 2

   選定代換。 令

   $u=-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad du=-2x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx=-\tfrac12\,du$

3. 3

   把積分完全改寫成 $u$ 的形式。 原式裡的 $x\,dx$ 被整批換掉，一點 $x$ 都沒剩下：

   $\int x\,e^{-x^{2}}\,dx=\int e^{u}\left(-\tfrac12\,du\right)=-\tfrac12\int e^{u}\,du$

4. 4

   積分並代回原變數。

   $-\tfrac12 e^{u}+C=-\tfrac12 e^{-x^{2}}+C$

5. 5

   微分回去檢查。 由連鎖律，

   $\frac{d}{dx}\left(-\tfrac12 e^{-x^{2}}\right)=-\tfrac12 e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=x\,e^{-x^{2}}$

   正是原本的被積函數 ✓。在 $x=1.3$ 處做數值抽驗：$-\tfrac12 e^{-x^2}$ 的對稱差商給出 $0.2398754$，而 $x e^{-x^2}=0.2398754$ ✓。

6. 6

   順帶看看定積分版本會給出什麼。 上下限取 $a$ 到 $b$ 時，答案是 $\tfrac12\left(e^{-a^2}-e^{-b^2}\right)$；特別地 $\int_0^{\infty}x e^{-x^2}dx=\tfrac12$。