設 C 是滿足 x² + y² ≥ z² 且 x² + y² + z² ≤ 4 的所有點所成的集合。用球座標求 C 的體積。

Step-by-step solution

1. 1

   先認出這兩個曲面。 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 是半徑 $2$ 的球面，而 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 是通過原點、半頂角為 $45^\circ$ 的雙錐面。所求區域是球體中位於錐面外側的部分 —— 也就是球體上方挖掉一個甜筒、下方再挖掉一個。

2. 2

   把兩個條件都換成球座標。 取 $x=\rho\sin\phi\cos\theta$、$y=\rho\sin\phi\sin\theta$、$z=\rho\cos\phi$：

   $x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\phi,\qquad z^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\phi,$

   於是 $x^{2}+y^{2}\ge z^{2}$ 變成 $\sin^{2}\phi\ge\cos^{2}\phi$，也就是 $\tan^{2}\phi\ge 1$，即

   $\frac{\pi}{4}\le\phi\le\frac{3\pi}{4}.$

   而球的條件單純就是 $\rho\le 2$。這正是球座標為何是正確選擇：兩個曲面都變成了座標的上下限。

3. 3

   配上正確的 Jacobian 列出積分式。 體積元素是 $dV=\rho^{2}\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$：

   $V=\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.$

   上下限全是常數，所以這個三重積分可以拆成三個各自獨立的一維積分。

4. 4

   逐一算出三個因子。

   $\int_{0}^{2}\rho^{2}d\rho=\frac{8}{3},\qquad \int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin\phi\,d\phi=\left[-\cos\phi\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2,\qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.$

5. 5

   把三個結果相乘。

   $V=\frac{8}{3}\cdot\sqrt2\cdot 2\pi=\frac{16\sqrt2\,\pi}{3}\approx 23.695.$

6. 6

   拿整顆球來對照檢驗。 半徑 $2$ 的完整球體體積為 $\tfrac{4}{3}\pi(8)=\tfrac{32\pi}{3}\approx 33.51$，所以這個區域保留了其中的 $\tfrac{16\sqrt2/3}{32/3}=\tfrac{\sqrt2}{2}\approx 70.7\%$。挖掉兩個 $45^\circ$ 的錐體理應咬掉可觀但不到一半的體積，因此剩下 $70.7\%$ 在量級上完全合理。