求 2ˣ 乘以 (2ˣ + 4)⁵ 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先找出「內層函數的導數已經擺在外面」的結構。 括號 $2^x+4$ 被取了次方，而它的導數是

   $\frac{d}{dx}\left(2^{x}+4\right)=2^{x}\ln 2,$

   這正好就是外面那個因子 $2^x$，只差一個常數 $\ln 2$。這就是變數代換題的典型特徵。

2. 2

   做變數代換。 令

   $u=2^{x}+4\quad\Longrightarrow\quad du=2^{x}\ln 2\,dx\quad\Longrightarrow\quad 2^{x}\,dx=\frac{du}{\ln 2}.$

   這裡的底數是 $2$ 而不是 $e$，所以 $\ln 2$ 必須一路帶著——把它丟掉是這道積分裡最常見的錯誤。

3. 3

   把整個積分全部改寫成 u 的形式。

   $\int 2^{x}\left(2^{x}+4\right)^{5}dx=\int u^{5}\,\frac{du}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}\int u^{5}\,du.$

4. 4

   套用冪次法則，再代換回原變數。

   $\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{u^{6}}{6}+C=\frac{\left(2^{x}+4\right)^{6}}{6\ln 2}+C.$

5. 5

   求導確認。 由連鎖律，

   $\frac{d}{dx}\frac{\left(2^{x}+4\right)^{6}}{6\ln 2}=\frac{6\left(2^{x}+4\right)^{5}\cdot 2^{x}\ln 2}{6\ln 2}=2^{x}\left(2^{x}+4\right)^{5},$

   正是原來的被積函數，所以這個反導函數是正確的。