計算 x 乘以 e 的 −y² 次方在區域 √y/3 ≤ x ≤ √y/2、0 ≤ y < ∞ 上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先對 $x$ 積分 —— 題目給的順序本來就是方便的那一個。 這個區域的左右兩側都是「以 $y$ 表示 $x$」的曲線，所以 $dx$ 該擺在內層。而且 $e^{-y^{2}}$ 對內層積分而言是常數，這一點很要緊，因為 $e^{-y^{2}}$ 對 $y$ 沒有初等反導函數；把它延後處理是必要的。

   $\int_{\sqrt y/3}^{\sqrt y/2} x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{\sqrt y/3}^{\sqrt y/2}.$

2. 2

   計算中括號。 上下限平方之後根號就消失了：$(\sqrt y/2)^{2}=y/4$、$(\sqrt y/3)^{2}=y/9$。所以

   $\frac12\left(\frac{y}{4}-\frac{y}{9}\right)=\frac12\cdot\frac{9y-4y}{36}=\frac{5y}{72}.$

   因此這條帶狀區域給每個 $y$ 的權重是 $5y/72$，是一個對 $y$ 線性的因子 —— 正是它讓外層積分變成初等的。

3. 3

   化成單重積分。

   $\int_{0}^{\infty}\frac{5y}{72}e^{-y^{2}}\,dy=\frac{5}{72}\int_{0}^{\infty}y\,e^{-y^{2}}\,dy.$

4. 4

   代換 $u=y^{2}$。 則 $du=2y\,dy$，所以 $y\,dy=\tfrac12\,du$，而上下限 $y=0,\infty$ 變成 $u=0,\infty$：

   $\int_{0}^{\infty}y\,e^{-y^{2}}\,dy=\frac12\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,du=\frac12\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{\infty}=\frac12.$

   這就是瑕積分的上限不會造成麻煩的原因：多出來的那個 $y$ 因子把高斯型函數變成了單純的指數函數。

5. 5

   把兩個因子相乘並做數值檢查。

   $\frac{5}{72}\cdot\frac12=\frac{5}{144}.$

   對 $\int_{0}^{\infty}\tfrac{5y}{72}e^{-y^{2}}dy$ 用適應性數值積分會回傳 $0.0347222222$，而 $5/144=0.034722\overline{2}$ —— 吻合到十位數字。