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Calculus · real student question

求 −2y 的三重積分 dz dy dx，其中 x 從 −3 到 3、y 從 0 到 √(9 − x²)、z 從 0 到 9 − x² − y²，並給出精確值。

Question

求值

∫−33∫09−x2∫0 9−x2−y2(−2y) dz dy dx\int_{-3}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^2}}\int_{0}^{\,9-x^2-y^2} (-2y)\,dz\,dy\,dx

請給出精確值。

Step-by-step solution

  1. 先把上下限讀成一個形狀，再開始積分。 xx 與 yy 的上下限描述的是 x2+y2≤9x^2+y^2\le 9 且 y≥0y\ge 0 ——半徑為 33 的圓盤的上半部——而 zz 從平面 z=0z=0 一路到拋物面 z=9−x2−y2z=9-x^2-y^2。認出這個半圓盤，最後一步的柱面座標交叉驗算才做得下去。

  2. 先對 zz 積分，因為被積函數不含 zz。 內層積分就只是被積函數乘上立體的高度：

    ∫09−x2−y2(−2y) dz=−2y (9−x2−y2)\int_{0}^{9-x^2-y^2}(-2y)\,dz=-2y\,(9-x^2-y^2)

  3. 對 yy 積分，看兩項如何併起來。 展開得 −2y(9−x2)+2y3-2y(9-x^2)+2y^3，所以令 R2=9−x2R^2=9-x^2：

    [−(9−x2)y2+12y4]09−x2=−(9−x2)2+12(9−x2)2=−12(9−x2)2\Bigl[-(9-x^2)y^2+\tfrac12 y^4\Bigr]_{0}^{\sqrt{9-x^2}}=-(9-x^2)^2+\tfrac12(9-x^2)^2=-\tfrac12(9-x^2)^2

    上限平方後恰好是 9−x29-x^2，這就是兩個 RR 的次方能併得如此乾淨的原因。

  4. 利用被積函數的偶性對 xx 積分。 由於 (9−x2)2=81−18x2+x4(9-x^2)^2=81-18x^2+x^4 是偶函數，

    −12∫−33 ⁣ ⁣(81−18x2+x4)dx=−∫03 ⁣ ⁣(81−18x2+x4)dx-\frac12\int_{-3}^{3}\!\!\bigl(81-18x^2+x^4\bigr)dx=-\int_{0}^{3}\!\!\bigl(81-18x^2+x^4\bigr)dx
    =−[81x−6x3+x55]03=−(243−162+2435)=−6485=-\Bigl[81x-6x^3+\tfrac{x^5}{5}\Bigr]_0^3=-\left(243-162+\frac{243}{5}\right)=-\frac{648}{5}

  5. 用柱面座標確認這個值。 取 y=rsin⁡θy=r\sin\theta、dV=r dz dr dθdV=r\,dz\,dr\,d\theta，同一個立體是 0≤r≤30\le r\le 3、0≤θ≤π0\le\theta\le\pi、0≤z≤9−r20\le z\le 9-r^2：

    ∫0π ⁣ ⁣∫03(−2rsin⁡θ)(9−r2) r dr dθ=−2(∫0π ⁣sin⁡θ dθ)(∫03 ⁣r2(9−r2) dr)\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{3}(-2r\sin\theta)(9-r^2)\,r\,dr\,d\theta=-2\left(\int_0^{\pi}\!\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_0^{3}\!r^2(9-r^2)\,dr\right)

    這兩個因子分別是 22 與 81−2435=162581-\tfrac{243}{5}=\tfrac{162}{5}，給出 −2⋅2⋅1625=−6485-2\cdot 2\cdot\tfrac{162}{5}=-\tfrac{648}{5} ——用完全不同的路徑得到同一個精確值。

  6. 解讀正負號。 整個立體都在 y≥0y\ge 0 裡，而被積函數 −2y-2y 在那裡 ≤0\le 0，所以答案是負的很合理；若算出正值，就立刻代表某處掉了負號。

Answer

−6485-\frac{648}{5}

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