計算 9y + 4x 在拋物線 y = 4x² − 9 與 y = 9 − 4x² 所圍區域上的二重積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先求兩條拋物線的交點。 令 $4x^2-9 = 9-4x^2$ 得 $8x^2 = 18$，所以 $x = \pm\tfrac{3}{2}$。因此區域橫跨 $-\tfrac{3}{2} \le x \le \tfrac{3}{2}$。

2. 2

   寫出疊積分。 對每個 $x$，鉛直的切片從下方那條拋物線跑到上方那條：

   $\int_{-3/2}^{3/2}\int_{4x^2-9}^{9-4x^2}(9y+4x)\,dy\,dx$

3. 3

   利用對稱性，不要硬算。 $D$ 對兩個座標軸都對稱：把 $x \to -x$ 會把區域映回自己，把 $y \to -y$ 也一樣（兩條邊界曲線互換）。

4. 4

   把對稱性分別用在兩項上。 $9y$ 對 $y$ 是奇函數，而區域對 $y$ 對稱，所以它積出來是 $0$。$4x$ 對 $x$ 是奇函數，而區域對 $x$ 對稱，所以它積出來也是 $0$。

5. 5

   下結論。 兩項都消失，所以積分是 $0$——完全不需要求反導函數。每次遇到由偶函數定義的區域，積分前先檢查對稱性都很值得。