解微分方程式 y″ + 2y′ + y = e^(−x)。

Step-by-step solution

1. 1

   求特徵根。 對 $y'' + 2y' + y = 0$，特徵方程式是

   $r^2 + 2r + 1 = (r+1)^2 = 0$

   有一個重根 $r = -1$。二重根同時貢獻 $e^{-x}$ 與 $xe^{-x}$，所以

   $y_h = (C_1 + C_2x)e^{-x}$

2. 2

   看清共振有多深。 外力項 $e^{-x}$ 對上了根 $-1$，而這個根的重數是 $2$。規則是：試解要乘上 $x^{m}$，其中 $m$ 是重數。這裡 $m = 2$，所以 $Ae^{-x}$ 與 $Axe^{-x}$ 代入後都會變成零——只有 $y_p = Ax^2e^{-x}$ 能活下來。

3. 3

   把試解微分兩次。

   $y_p' = A e^{-x}\left(2x - x^2\right), \qquad y_p'' = A e^{-x}\left(x^2 - 4x + 2\right)$

4. 4

   代入並解出 A。

   $y_p'' + 2y_p' + y_p = Ae^{-x}\left[(x^2 - 4x + 2) + (4x - 2x^2) + x^2\right] = 2Ae^{-x}$

   $x^2$ 項相消（$1 - 2 + 1 = 0$），$x$ 項也相消（$-4 + 4 = 0$），只剩下常數 $2$。令 $2Ae^{-x} = e^{-x}$ 得 $A = \tfrac12$。

5. 5

   寫出並檢查通解。

   $y = e^{-x}\left(C_1 + C_2x + \tfrac{1}{2}x^2\right)$

   用 $y_p = \tfrac12x^2e^{-x}$ 驗證：$y_p' = \left(x - \tfrac{x^2}{2}\right)e^{-x}$、$y_p'' = \left(1 - 2x + \tfrac{x^2}{2}\right)e^{-x}$，於是左邊是 $e^{-x}\left[\left(1 - 2x + \tfrac{x^2}{2}\right) + \left(2x - x^2\right) + \tfrac{x^2}{2}\right] = e^{-x}$。正確。