函數 y = f(x) 滿足微分方程式 dy/dx = 3x^2 (y - 4)。若 f(0) = 6，求特解。

Step-by-step solution

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   看出方程式可以分離變數，並先檢查特殊解。 右邊是 $x$ 的函數乘上 $y$ 的函數，所以變數可以拆開。在相除之前先注意：$y=4$ 會讓右邊為零，它本身就是一個常數解；而初始值 $f(0)=6\neq 4$ 告訴我們要找的解不是它，所以在初始點附近除以 $y-4$ 是合法的。

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   分離變數。 把所有 $y$ 移到左邊、所有 $x$ 移到右邊：

   $\frac{1}{y-4}\,dy=3x^{2}\,dx$

3. 3

   兩邊積分。 左邊是對數，右邊是冪次：

   $\int\frac{1}{y-4}\,dy=\int 3x^{2}\,dx\ \Longrightarrow\ \ln|y-4|=x^{3}+C$

   只需要一個常數，因為兩邊的常數可以併在一起。

4. 4

   取指數以解出 $y$。 對兩邊施以 $e^{(\cdot)}$，

   $|y-4|=e^{x^{3}+C}=e^{C}e^{x^{3}}$

   由於 $e^{C}$ 是任意的正常數，而 $y-4$ 的正負號可以靠允許該常數取負值來吸收，於是寫成

   $y-4=Ke^{x^{3}}\ \Longrightarrow\ y=4+Ke^{x^{3}}$

   其中 $K$ 是任意實數（$K=0$ 就還原成特殊解 $y=4$）。

5. 5

   代入初始條件。 代 $x=0$、$y=6$，並利用 $e^{0}=1$：

   $6=4+K\cdot 1\ \Longrightarrow\ K=2$

   所以特解是

   $y=4+2e^{x^{3}}$

6. 6

   驗證這個解同時滿足兩項要求。 微分得 $\dfrac{dy}{dx}=2\cdot 3x^{2}e^{x^{3}}=6x^{2}e^{x^{3}}$，而 $3x^{2}(y-4)=3x^{2}\cdot 2e^{x^{3}}=6x^{2}e^{x^{3}}$——兩者完全一致。在 $x=0.5$、$1.1$ 與 $-0.8$ 處做中央差分檢查，與 $3x^{2}(y-4)$ 吻合到小數點後五位，而且 $y(0)=4+2=6$ 也符合要求。