求 z = ln((x 減 根號(x 平方減 y 平方)) 除以 (x 加 根號(x 平方減 y 平方))) 的兩個一階偏導數。

Step-by-step solution

1. 1

   先把「商的對數」拆成「對數之差」。 先化簡再微分，可以省掉整整一次商的微分法運算。令 $u=\sqrt{x^2-y^2}$，

   $z=\ln(x-u)-\ln(x+u)$

   順便把裡層根式的兩個偏導數一次記下來，因為兩個偏導數都會用到：

   $u_x=\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}=\frac{x}{u},\qquad u_y=\frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}}=-\frac{y}{u}$

   還有一條關係式等一下會包辦大半工作：$x^2-u^2=x^2-(x^2-y^2)=y^2$。

2. 2

   對 $x$ 微分，把 $y$ 視為常數。 對兩個對數各用連鎖律，得

   $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1-u_x}{x-u}-\frac{1+u_x}{x+u}=\frac{1-\dfrac{x}{u}}{x-u}-\frac{1+\dfrac{x}{u}}{x+u}$

   不要停在這裡，然後猜那兩塊長得對稱的東西會互相抵消 —— 它們不會。每一塊都必須先化簡。

3. 3

   分別化簡兩塊。 把分子通分到 $u$ 上：

   $\frac{1-\frac{x}{u}}{x-u}=\frac{\frac{u-x}{u}}{x-u}=\frac{-(x-u)}{u(x-u)}=-\frac{1}{u}$

   $\frac{1+\frac{x}{u}}{x+u}=\frac{\frac{u+x}{u}}{x+u}=\frac{x+u}{u(x+u)}=\frac{1}{u}$

   所以第一項是 $-\tfrac1u$、第二項是 $+\tfrac1u$，而導數是兩者之差：

   $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{u}-\frac{1}{u}=-\frac{2}{u}=-\frac{2}{\sqrt{x^2-y^2}}$

   這一步的正負號一錯就全錯：$-\tfrac1u$ 減去 $+\tfrac1u$ 得到的是 $-\tfrac2u$，不是 $0$。

4. 4

   對 $y$ 微分，把 $x$ 視為常數。 現在只有 $u$ 依賴 $y$：

   $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-u_y}{x-u}-\frac{u_y}{x+u}=\frac{y/u}{x-u}+\frac{y/u}{x+u}=\frac{y}{u}\left(\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}\right)$

   兩項最後都是正的，因為各自都帶著同一個因子 $-u_y=+\dfrac{y}{u}$：來自商的微分法的負號與來自 $u_y=-y/u$ 的負號互相抵消了。

5. 5

   用 $x^2-u^2=y^2$ 把兩個分式合併。

   $\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}=\frac{(x+u)+(x-u)}{x^2-u^2}=\frac{2x}{y^2}$

   因此

   $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{u}\cdot\frac{2x}{y^2}=\frac{2x}{y\,u}=\frac{2x}{y\sqrt{x^2-y^2}}$

6. 6

   用數值檢查兩個答案。 取 $x=3$、$y=2$，則 $u=\sqrt{9-4}=\sqrt5\approx2.2360680$。用步長 $10^{-6}$ 的中央差分得

   $z_x\approx-0.8944272,\qquad z_y\approx1.3416408$

   而公式給出 $-2/\sqrt5=-0.8944272$ 與 $2(3)/(2\sqrt5)=1.3416408$。兩者都吻合到小數第七位。（一個常見的錯誤答案 $z_x=0$ 會立刻被這個檢驗打掉：固定 $y$ 而移動 $x$ 時，$z$ 確實會變。）