Calculus · real student question

求 z = ln((x 減 根號(x 平方減 y 平方)) 除以 (x 加 根號(x 平方減 y 平方))) 的兩個一階偏導數。

Question

求

z=ln⁡ ⁣(x−x2−y2x+x2−y2)z=\ln\!\left(\frac{x-\sqrt{x^2-y^2}}{x+\sqrt{x^2-y^2}}\right)

的兩個一階偏導數 ∂z∂x\dfrac{\partial z}{\partial x} 與 ∂z∂y\dfrac{\partial z}{\partial y}。

Step-by-step solution

  1. 先把「商的對數」拆成「對數之差」。 先化簡再微分，可以省掉整整一次商的微分法運算。令 u=x2−y2u=\sqrt{x^2-y^2}，

    z=ln⁡(x−u)−ln⁡(x+u)z=\ln(x-u)-\ln(x+u)

    順便把裡層根式的兩個偏導數一次記下來，因為兩個偏導數都會用到：

    ux=xx2−y2=xu,uy=−yx2−y2=−yuu_x=\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}=\frac{x}{u},\qquad u_y=\frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}}=-\frac{y}{u}

    還有一條關係式等一下會包辦大半工作：x2−u2=x2−(x2−y2)=y2x^2-u^2=x^2-(x^2-y^2)=y^2。

  2. 對 xx 微分，把 yy 視為常數。 對兩個對數各用連鎖律，得

    ∂z∂x=1−uxx−u−1+uxx+u=1−xux−u−1+xux+u\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1-u_x}{x-u}-\frac{1+u_x}{x+u}=\frac{1-\dfrac{x}{u}}{x-u}-\frac{1+\dfrac{x}{u}}{x+u}

    不要停在這裡，然後猜那兩塊長得對稱的東西會互相抵消 —— 它們不會。每一塊都必須先化簡。

  3. 分別化簡兩塊。 把分子通分到 uu 上：

    1−xux−u=u−xux−u=−(x−u)u(x−u)=−1u\frac{1-\frac{x}{u}}{x-u}=\frac{\frac{u-x}{u}}{x-u}=\frac{-(x-u)}{u(x-u)}=-\frac{1}{u}

    1+xux+u=u+xux+u=x+uu(x+u)=1u\frac{1+\frac{x}{u}}{x+u}=\frac{\frac{u+x}{u}}{x+u}=\frac{x+u}{u(x+u)}=\frac{1}{u}

    所以第一項是 −1u-\tfrac1u、第二項是 +1u+\tfrac1u，而導數是兩者之差：

    ∂z∂x=−1u−1u=−2u=−2x2−y2\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{u}-\frac{1}{u}=-\frac{2}{u}=-\frac{2}{\sqrt{x^2-y^2}}

    這一步的正負號一錯就全錯：−1u-\tfrac1u 減去 +1u+\tfrac1u 得到的是 −2u-\tfrac2u，不是 00。

  4. 對 yy 微分，把 xx 視為常數。 現在只有 uu 依賴 yy：

    ∂z∂y=−uyx−u−uyx+u=y/ux−u+y/ux+u=yu(1x−u+1x+u)\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-u_y}{x-u}-\frac{u_y}{x+u}=\frac{y/u}{x-u}+\frac{y/u}{x+u}=\frac{y}{u}\left(\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}\right)

    兩項最後都是正的，因為各自都帶著同一個因子 −uy=+yu-u_y=+\dfrac{y}{u}：來自商的微分法的負號與來自 uy=−y/uu_y=-y/u 的負號互相抵消了。

  5. 用 x2−u2=y2x^2-u^2=y^2 把兩個分式合併。

    1x−u+1x+u=(x+u)+(x−u)x2−u2=2xy2\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}=\frac{(x+u)+(x-u)}{x^2-u^2}=\frac{2x}{y^2}

    因此

    ∂z∂y=yu⋅2xy2=2xy u=2xyx2−y2\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{u}\cdot\frac{2x}{y^2}=\frac{2x}{y\,u}=\frac{2x}{y\sqrt{x^2-y^2}}

  6. 用數值檢查兩個答案。 取 x=3x=3、y=2y=2，則 u=9−4=5≈2.2360680u=\sqrt{9-4}=\sqrt5\approx2.2360680。用步長 10−610^{-6} 的中央差分得

    zx≈−0.8944272,zy≈1.3416408z_x\approx-0.8944272,\qquad z_y\approx1.3416408

    而公式給出 −2/5=−0.8944272-2/\sqrt5=-0.8944272 與 2(3)/(25)=1.34164082(3)/(2\sqrt5)=1.3416408。兩者都吻合到小數第七位。（一個常見的錯誤答案 zx=0z_x=0 會立刻被這個檢驗打掉：固定 yy 而移動 xx 時，zz 確實會變。）

Answer

∂z∂x=−2x2−y2,∂z∂y=2xyx2−y2\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2}{\sqrt{x^2-y^2}},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2x}{y\sqrt{x^2-y^2}}

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