解微分方程式 y″ + y = 12。

Step-by-step solution

1. 1

   把問題拆成兩半。 對常係數線性方程式，通解是 $y=y_h+y_p$：齊次方程式的通解，加上完整方程式的任何一個特解。兩部分缺一不可——漏掉 $y_p$ 或丟掉任意常數，答案都會是錯的。

2. 2

   解齊次方程式。 把右邊設為零並試 $y=e^{rx}$，得到特徵方程式

   $r^2+1=0\qquad\Longrightarrow\qquad r=\pm i$

   純虛的共軛對 $\pm i\beta$ 對應到不衰減的振盪，所以

   $y_h=C_1\cos x+C_2\sin x$

3. 3

   選一個試探特解。 右邊是常數 $12$，所以試常數 $y_p=A$。常數的導數為零，$y_p''=0$，代入後得到

   $0+A=12\qquad\Longrightarrow\qquad A=12$

   所以 $y_p=12$。（這招行得通，是因為 $r=0$ 不是 特徵方程式的根——否則試解就得多帶一個 $x$ 因子。）

4. 4

   組合出通解。

   $y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+12$

5. 5

   解讀這個答案。 解會以週期 $2\pi$、振幅 $\sqrt{C_1^2+C_2^2}$ 在平衡水準 $y=12$ 上下振盪。那個 $12$ 就是常數外力所強加的穩態：齊次的部分提供擺動，特解的部分決定中心線。

6. 6

   代回驗算。 取 $y=C_1\cos x+C_2\sin x+12$：$y''=-C_1\cos x-C_2\sin x$，所以

   $y''+y=\left(-C_1\cos x-C_2\sin x\right)+\left(C_1\cos x+C_2\sin x+12\right)=12\ \checkmark$

   數值上取 $C_1=1.3$、$C_2=-0.7$，用步長 $10^{-4}$ 的中央二階差分，在 $x=0.2,\ 1.5,\ -1.1$ 處都得到 $y''+y=12.000$ ✓。