求 cos(2x) 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

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   先猜出形狀，再把常數定下來。 $\cos$ 的反導函數是 $\sin$，所以答案必然長成 $A\sin2x$ 的樣子。把這個猜測求導：$\dfrac{d}{dx}\left(A\sin2x\right)=2A\cos2x$。要它等於 $\cos2x$，就得有 $2A=1$，即 $A=\tfrac12$。這個 $\tfrac12$ 不是裝飾——它專門用來抵消連鎖律帶出來的那個 $2$。

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   再規規矩矩用變數代換做一遍。 令 $u=2x$，則 $du=2\,dx$，$dx=\tfrac12\,du$：

   $\int\cos2x\,dx=\int\cos u\cdot\frac12\,du=\frac12\int\cos u\,du=\frac12\sin u+C$

3. 3

   把 u 代換回去。

   $\int\cos2x\,dx=\frac12\sin2x+C$

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   寫出一般規律。 對任何非零常數 $a$，

   $\int\cos ax\,dx=\frac{1}{a}\sin ax+C$

   前面那個因子永遠是內層係數的倒數。同樣的規律給出 $\int\sin ax\,dx=-\tfrac1a\cos ax+C$。

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   說說最常犯的錯。 寫成 $\sin2x+C$（漏掉 $\tfrac12$）或 $2\sin2x+C$（把倒數寫反了），是兩種典型錯法。把答案求個導，五秒鐘就能把它們都揪出來。

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   求導驗證。 $\dfrac{d}{dx}\left(\tfrac12\sin2x\right)=\tfrac12\cdot2\cos2x=\cos2x$ ✓。數值上，在 $x=0.3,\ 1.4,\ -0.9$ 處對 $\tfrac12\sin2x$ 取對稱差商，與 $\cos2x$ 吻合到小數點後五位 ✓。