求從 y = 1 到 x 的 y 除以 2 的 y 次方之和，在 x 趨近無窮大時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   認出這是無窮級數，而不是函數的極限。 部分和遞增，而各項 $y/2^y$ 以等比的速度縮小，所以這個極限恰好就是那個收斂級數的值

   $S=\sum_{y=1}^{\infty}\frac{y}{2^y}$

   收斂性由比值審斂法保證：相鄰兩項的比值趨近 $\tfrac12<1$。

2. 2

   把和寫開，再取它的一半。

   $S=\frac12+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots$

   $\frac12 S=\frac14+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\cdots$

   取一半會把每一項往右挪一格，而這正是下一步能奏效的原因。

3. 3

   兩列相減。 按分母對齊，每個係數剛好各減去一：

   $S-\frac12 S=\frac12+\frac{2-1}{4}+\frac{3-2}{8}+\frac{4-3}{16}+\cdots=\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$

   那個麻煩的等差乘等比級數已經變成單純的等比級數。

4. 4

   把等比級數加起來並解出答案。 首項 $\tfrac12$、公比 $\tfrac12$：

   $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=\frac{1/2}{1-1/2}=1$

   所以 $\tfrac12 S=1$，因此 $S=2$。

5. 5

   用封閉式與數值交叉驗證。 標準恆等式 $\sum_{y\ge1}yr^y=\dfrac{r}{(1-r)^2}$ 在 $r=\tfrac12$ 時給出 $\dfrac{1/2}{1/4}=2$ ✓。直接把前 $199$ 項加起來，到小數第十位都是 $2.0000000000$ ✓。