計算 √(x − x⁴) 對 x 從 x = 0 到 x = 1 的定積分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把根號裡的式子因式分解。 寫成 $x-x^{4}=x\left(1-x^{3}\right)$，被積函數就拆成兩個各自獨立的冪次：

   $I=\int_{0}^{1}x^{1/2}\left(1-x^{3}\right)^{1/2}dx.$

   在 $[0,1]$ 上兩個因子都非負，所以根號全程是實數，這個積分是常義積分。$x^{p}(1-x^{q})^{r}$ 這種形狀正是 Beta 函數型積分的招牌。

2. 2

   代換 $u=x^{3}$ 以湊出 Beta 的形式。 於是 $x=u^{1/3}$、$du=3x^{2}dx$，所以 $dx=\tfrac13u^{-2/3}du$，而且 $x^{1/2}=u^{1/6}$。上下限不變，$0\to0$、$1\to1$：

   $I=\int_{0}^{1}u^{1/6}(1-u)^{1/2}\cdot\tfrac13u^{-2/3}\,du.$

3. 3

   把 $u$ 的次方合併起來。 指數相加得

   $\frac16-\frac23=\frac16-\frac46=-\frac12,$

   所以

   $I=\frac13\int_{0}^{1}u^{-1/2}(1-u)^{1/2}\,du.$

   這恰好就是 Beta 積分 $B(a,b)=\int_{0}^{1}u^{a-1}(1-u)^{b-1}du$，其中 $a-1=-\tfrac12$、$b-1=\tfrac12$，也就是 $a=\tfrac12$、$b=\tfrac32$。

4. 4

   用 Gamma 函數求值。 套 $B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$，並用 $\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt{\pi}$、$\Gamma\!\left(\tfrac32\right)=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ 與 $\Gamma(2)=1$：

   $I=\frac13\cdot\frac{\sqrt{\pi}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}}{1}=\frac13\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}.$

5. 5

   用數值方法確認。 在 $[0,1]$ 上用兩百萬個子區間做複合辛普森法，得到 $0.52359878$，而 $\frac{\pi}{6}=0.52359878$ ✓。吻合的位數之所以有點受限，是因為導數在兩個端點都有根號型的奇異性——這也正是這裡走 Beta 函數路線比純數值積分更好的原因。