說明 ln x / √x 在 x 趨近無窮大時屬於哪一種不定型，再用羅必達法則求出這個極限。

Step-by-step solution

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   辨認不定型。 當 $x\to+\infty$ 時 $\ln x \to +\infty$ 且 $\sqrt{x} \to +\infty$，所以這個商的形式是 $\dfrac{\infty}{\infty}$。這是羅必達法則能直接處理的兩種形式之一。

2. 2

   分子分母各自微分。 羅必達法則是把 $\dfrac{f}{g}$ 換成 $\dfrac{f'}{g'}$——這不是商的微分法則，把兩者搞混是最經典的錯誤：

   $f(x) = \ln x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}, \qquad g(x) = x^{1/2} \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. 3

   寫出新的商並化簡。

   $\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})} = \frac{2\sqrt{x}}{x} = \frac{2}{\sqrt{x}}$

   化簡才是這條法則發揮價值的地方：新的式子已經不再是不定型了。

4. 4

   取極限。

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} = 0$

   所以原來的極限也是 $0$。這條法則用一次就夠了。

5. 5

   解讀這個結果。 這正是「對數成長得比 $x$ 的任何正次方都慢」這個標準說法：對每個 $p > 0$ 都有 $\ln x = o(x^{p})$。這裡 $p = \tfrac12$，而同樣的論證對任何 $p$ 都行得通。

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   用數值驗證。 在 $x = 10^4$：$\dfrac{\ln 10^4}{\sqrt{10^4}} = \dfrac{9.2103}{100} = 0.092103$。在 $x = 10^8$：$\dfrac{18.4207}{10^4} = 0.00184207$。在 $x = 10^{16}$：$\dfrac{36.8414}{10^8} = 3.68\times10^{-7}$ ✓——一路遞減趨向 $0$，而符號運算求出的極限正好是 $0$。