求 n 從 1 到無窮大時，1 除以 [√(n+1)(n+2) + (n+1)√(n+2)] 的級數和。

Step-by-step solution

1. 1

   把分母因式分解。 寫成 $n+2=\sqrt{n+2}\cdot\sqrt{n+2}$ 與 $n+1=\sqrt{n+1}\cdot\sqrt{n+1}$，分母就變成 $\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)$ ——這個形狀單靠硬展開是看不出來的。

2. 2

   把剩下的根號和有理化。 分子分母同乘 $\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$；由於 $\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)=1$，一般項變成 $\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}}$。

3. 3

   把分數拆開。 分子的每一部分各除以分母，得到 $\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$ ——乾淨俐落的伸縮差。

4. 4

   寫出部分和。 $S_N=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{N+2}}$，因為每一個中間項都會與鄰項相消。

5. 5

   取極限。 當 $N\to\infty$ 時 $\frac{1}{\sqrt{N+2}}\to 0$，所以總和是 $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.7071$。

6. 6

   數值檢查。 把 $2\times10^{6}$ 項加起來得 $0.7063997$，而封閉式預測 $\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt{2000002}}=0.7063997$ ——完全吻合，連那條收斂很慢的尾巴也對得上。