求 (根號(3x − 2) 減 2) 除以 (根號 x 減 根號 2) 在 x 趨近 2 時的極限。

Step-by-step solution

1. 1

   確認是不定型。 在 $x=2$ 時分子是 $\sqrt{6-2}-2 = 2-2 = 0$，分母是 $\sqrt2-\sqrt2 = 0$，所以是 $\tfrac00$，直接代入行不通。

2. 2

   代入 t = 根號 x，讓分母變成一次式。 令 $x=t^2$ 且 $t\to\sqrt2$，$\lim_{t\to\sqrt2}\frac{\sqrt{3t^2-2}-2}{t-\sqrt2}.$ 形如 $t-c$ 的一次分母正是導數的招牌。

3. 3

   認出這是差商。 令 $f(t)=\sqrt{3t^2-2}$。那麼 $f(\sqrt2)=\sqrt{6-2}=2$，所以這個式子恰好是 $\frac{f(t)-f(\sqrt2)}{t-\sqrt2} \longrightarrow f'(\sqrt2).$

4. 4

   用連鎖律微分。 $f'(t) = \frac{1}{2}(3t^2-2)^{-1/2}\cdot 6t = \frac{3t}{\sqrt{3t^2-2}}.$

5. 5

   在 t = 根號 2 處計算這個導數。 $f'(\sqrt2) = \frac{3\sqrt2}{\sqrt{3\cdot2-2}} = \frac{3\sqrt2}{2} \approx 2.121320.$

6. 6

   改用有理化來交叉驗證。 同乘 $\dfrac{\sqrt{3x-2}+2}{\sqrt{3x-2}+2}\cdot\dfrac{\sqrt x+\sqrt2}{\sqrt x+\sqrt2}$，會把這個商變成 $\dfrac{3(x-2)}{x-2}\cdot\dfrac{\sqrt x+\sqrt2}{\sqrt{3x-2}+2}$，它在 $x=2$ 時給出 $3\cdot\dfrac{2\sqrt2}{4} = \dfrac{3\sqrt2}{2}$——同一個值。把原式在 $x=2.000001$ 求值得到 $2.1213202$，數值上也確認了。