對曲線 y = 3x⁴ − 6x² + 2，求 x 座標為 2 的那一點處的斜率，以及該點的切線方程式。

Step-by-step solution

1. 1

   把曲線微分。 逐項微分得 $\frac{dy}{dx}=12x^3-12x$。導函數就是斜率函數：餵給它一個 $x$ 值，回傳的就是那裡的切線斜率。

2. 2

   在 $x=2$ 算出斜率。 $12(2)^3-12(2)=12(8)-24=96-24=72$，所以切線的斜率是 $m=72$。

3. 3

   找出真正的切點。 講義把這個點標成 $(2,-2)$，但代進去得到 $y(2)=3(16)-6(4)+2=48-24+2=26$。曲線通過的是 $(2,26)$；印出來的 $y$ 值是誤植，照著用會把直線放在錯的位置。

4. 4

   套用點斜式。 由 $m=72$ 與 $(x_1,y_1)=(2,26)$：$y-26=72(x-2)$。

5. 5

   展開成斜截式。 $y-26=72x-144$，因此 $y=72x-118$。

6. 6

   驗證。 在 $x=2$ 處，直線給出 $144-118=26$，與曲線相符；它的斜率 $72$ 也與導數相符——這正是切線必須同時滿足的兩個條件。