求 n 從 1 到無窮時 x^n / n^2 的總和。

Step-by-step solution

1. 1

   先求收斂半徑。 比值審斂法給出

   $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|x\right|\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\to\left|x\right|$

   所以級數在 $\left|x\right|<1$ 時收斂。在兩個端點上它也收斂：$x=1$ 時是 $p=2$ 的 $p$ 級數，而 $x=-1$ 時絕對收斂。因此這個和的定義域是閉區間 $\left|x\right|\le 1$。

2. 2

   由幾何級數經兩次積分把它建構出來。 從 $\sum_{n\ge 1}x^{n-1}=\dfrac{1}{1-x}$ 出發積分一次，得到

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x)$

   再除以 $x$ 並作第二次積分，就會在分母引入額外的 $n$：

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}=-\int_{0}^{x}\frac{\ln(1-t)}{t}\,dt$

3. 3

   認清這個積分沒有初等的封閉形式。 與 $\sum x^{n}/n$ 不同，這第二次的反導函數無法用初等函數表示。因此數學家給了它一個名字——雙對數函數：

   $\operatorname{Li}_{2}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}=-\int_{0}^{x}\frac{\ln(1-t)}{t}\,dt$

   替它命名就是誠實的答案，正如誤差函數之於 $\int e^{-x^{2}}dx$。

4. 4

   讀出兩個特殊值。 在 $x=1$ 處級數就是 Basel 和：

   $\operatorname{Li}_{2}(1)=\frac{\pi^{2}}{6}$

   而在 $x=-1$ 處，交錯的版本把它減半又變號：

   $\operatorname{Li}_{2}(-1)=-\frac{\pi^{2}}{12}$

5. 5

   用第三個已知值做數值檢查。 在 $x=\tfrac12$ 處有一個經典恆等式 $\operatorname{Li}_{2}\!\left(\tfrac12\right)=\dfrac{\pi^{2}}{12}-\dfrac{\ln^{2}2}{2}$。把級數加到 200 項得到 $0.58224052646$，而封閉形式給出 $0.58224052647$ ✓——這同時確認了級數本身與這個命名慣例。