Algebra
Real algebra questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
คำตอบของ (|x − 2| − x)/(x² − 4) ≤ 0 คือ (−2, 1] ∪ (2, +∞) แยกค่าสัมบูรณ์ที่ x = 2 สร้างตารางเครื่องหมาย แล้วดูว่าทำไม x = 1 จึงรวมอยู่ในคำตอบ แต่ ±2 ต้องตัดทิ้ง
คำตอบคือ x ≤ −9/2 หรือช่วง (−∞, −9/2] แยกลูกโซ่ออกเป็นสองอสมการ สังเกตว่าพจน์ x² ตัดกันหมด แล้วหาอินเตอร์เซกชันของคำตอบทั้งสองชุด
a³ + b³ มีค่าไม่น้อยกว่า a²b + ab² เสมอ และเท่ากันเฉพาะเมื่อ a = b เพราะผลต่างแยกตัวประกอบได้เป็น (a + b)(a − b)² ซึ่งเป็นผลคูณของก้อนที่ไม่เป็นลบ
คำตอบที่เป็นจำนวนจริงคือ x = −33 ยกกำลังสามทั้งสองข้างเพื่อกำจัดเลขชี้กำลัง 1/3 แก้ 2x + 2 = −64 แล้วดูว่าทำไมรากอันดับคี่จึงไม่สร้างคำตอบแปลกปลอม
เซตคำตอบคือ (−∞, −2) ∪ (1, 3) หาศูนย์ทั้งสามค่า แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นช่วง แล้วอ่านเครื่องหมายของผลคูณในแต่ละช่วงด้วยตารางเครื่องหมาย
พหุนามคือ f(x) = 5(x + 3)(x − 6)(x − 10) = 5x³ − 65x² + 60x + 900 ดูว่าศูนย์แต่ละตัวกลายเป็นตัวประกอบอย่างไร และสัมประสิทธิ์นำเป็นตัวกำหนดสเกลอย่างไร
ผลบวกของรากเท่ากับ 10 ลบแบบรูปเชิงเส้น 4x − 3 ออกไป แยกตัวประกอบผลต่างเป็น a(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) แล้วใช้สูตรเวียตา ค่าคงตัว a จะตัดกันหายไป
ผลหารผลต่างลดรูปได้เป็น 2x + h − 5 ดูวิธีกระจาย f(x + h) ลบ f(x) ดึง h ออกจากตัวเศษแล้วตัดทิ้ง ทีละขั้นอย่างละเอียด
โดเมนของ f(x) = 1/(8/(x − 5) − 2) คือ (−∞, 5) ∪ (5, 9) ∪ (9, ∞) เศษส่วนซ้อนซ่อนข้อจำกัดไว้สองข้อ คือตัวส่วนชั้นในและตัวส่วนชั้นนอก
คำตอบคือ ((3−√17)/2, 0) ∪ ((3+√17)/2, ∞) ทำฐานให้เท่ากัน กลับเครื่องหมายอสมการเพราะ 2/5 < 1 แล้วสร้างตารางเครื่องหมายของ (x²−3x−2)/x
27x³+y³=(3x+y)(9x²−3xy+y²), x³−8y³=(x−2y)(x²+2xy+4y²), x³+512=(x+8)(x²−8x+64) ฝึกมองหากำลังสามสมบูรณ์สองก้อนแล้วเขียนตัวประกอบออกมา
คำตอบคือ ab = −1/4 จาก a = −1/2 และ b = 1/2 การที่เซตคำตอบอยู่ระหว่างรากบังคับให้ a < 0 และพจน์ค่าคงตัว 1 ตรึงตัวประกอบมาตราส่วนไว้
คำตอบคือ 5/4 หารเพื่อแยกสังยุคของ z−1 ออกมา ทำตัวส่วนให้เป็นจำนวนจริง หาสังยุคทั้งสองข้างเพื่อดึง z กลับมา แล้วใช้ |z|² = a² + b²
x = 6 เมื่อ y = 2x² − 21x + 64 กับ y = 3x + a ตัดกันเพียงจุดเดียว สมการกำลังสองจะมีรากซ้ำ ดังนั้น x = 24/4 = 6 และ a = −8 พร้อมอธิบายดิสคริมิแนนต์ครบถ้วน
สมการนี้มีรากเดียวคือ x = −3 ผลบวกของรากจึงเท่ากับ −3 การเปลี่ยนฐานเปลี่ยนผลหารของลอการิทึมให้เป็นลอการิทึมเดียวที่มีฐาน x + 5
คำตอบคือ x ≤ −5/2, x = 0 หรือ 1/6 ≤ x < 1/2 แยกกรณีตามเครื่องหมายของ x หารด้วย x (กลับเครื่องหมายเมื่อ x < 0) และใช้ว่า log ฐาน 1/3 เป็นฟังก์ชันลด
พิสูจน์ว่าถ้าเมทริกซ์จัตุรัสสลับที่ได้กับเมทริกซ์ทุกตัวที่ขนาดเท่ากัน มันต้องเท่ากับ λI โดยใช้เมทริกซ์หน่วย E_ij บังคับให้สมาชิกนอกแนวทแยงทุกตัวเป็นศูนย์
ผสมสารละลาย 20% จำนวน 10 ลิตร กับสารละลาย 50% จำนวน 10 ลิตร จะได้ 20 ลิตรที่ความเข้มข้น 35% ตั้งสมการปริมาตรและสมการแอลกอฮอล์บริสุทธิ์แล้วแก้ระบบ
ผลต่างลดรูปเป็น 12a²b² − 5ab⁵ ซึ่งเป็นทวินามดีกรี 6 ดูว่าทำไมการลบจึงทำให้พจน์ a³b ตัดกัน และทำไมดีกรีจึงมาจากการบวกเลขชี้กำลัง
ช่องผลหารที่หายไปคือ A = −3 ผลหารจึงเป็น x − 3 และเศษเหลือ 0 เรียนรู้ว่าแต่ละช่องของตารางการหารพหุนามเกิดขึ้นอย่างไร ทีละขั้น
รากคือ x = (11 − √29)/2 = 2.807 และ x = (3 + √13)/2 = 3.303 แยกกรณีที่ x = 3 แก้สมการกำลังสองในแต่ละกิ่ง แล้วเก็บเฉพาะรากที่เข้าเงื่อนไข
คำตอบคือ 2 − 2√3 ≤ x ≤ 2 + 2√3 รากให้ f(x) = a(x + 1)(x − 5) ค่าต่ำสุด −18 ที่จุดยอด x = 2 บังคับให้ a = 2 แล้วจึงแก้ 2x² − 8x − 10 ≤ 6
คำตอบที่เป็นจำนวนจริงคือ x = −12 และ x = −13 แทน u = x + 4 เพื่อเปลี่ยนสมการรูปกำลังสองให้เป็น u² + 17u + 72 = 0 แยกตัวประกอบแล้วแปลงกลับ
ค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ของ n คือ 14 แยกตัวประกอบได้ f(x) = a(x − 1)(x + 7) จึงได้ b = 6a และ a + b = 7a ส่วนจำนวนเต็ม a ที่น้อยที่สุดที่ใช้ได้คือ 2 ได้ 14
คำตอบคือ 7/4 < k < 13/6 เงื่อนไขเครื่องหมาย f(0) > 0, f(1) < 0, f(2) < 0, f(3) > 0 ตรึงพารามิเตอร์ไว้ และผลคูณของรากใช้ตรวจซ้ำได้
คำตอบคือ (2√7 − 2√2) / 5 คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุค √7 − √2 เพื่อให้ผลต่างกำลังสองล้างรากทั้งสองตัวไปพร้อมกัน
เศษเหลือคือ 26x − 47 ถ้า f(x) หารด้วย 2x² − 3x + 4 เหลือเศษ 2x + 1 ให้ยกกำลังสามเศษนั้น แล้วลดรูปด้วยกฎ x² = (3x − 4)/2
ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือหาร x³ − 2 ด้วย x − 1 ได้ในขั้นตอนเดียวโดยไม่ต้องหารยาว พร้อมอธิบายว่าทำไมเศษเหลือจึงเป็นค่าคงตัว ไม่ใช่พหุนาม
อัตราเร็วขาไปคือ 50 กม./ชม. และขากลับ 60 กม./ชม. แปลง 4 ชม. 24 นาที เป็น 4.4 ชม. เขียนเวลาทั้งสองขาเป็นระยะทางหารอัตราเร็ว แล้วแก้ 220/v = 4.4
คำตอบคือ 3037 สมการลักษณะเฉพาะ (r − 2)² = 0 ให้ a_n = (A + Bn)2^n ดังนั้น a_2025 = 6,149,925 × 2^2025 และ b/c = 6,149,925/2025 = 3037
พจน์ที่ 19 คือ 91.66672 ส่วนจำนวนเต็มจึงเป็น 91 ผลต่างลดลงครึ่งหนึ่งและสลับเครื่องหมาย ลำดับลู่เข้าสู่ (a1 + 2a2)/3 = 275/3 ไม่ใช่ 2a2 − a1
คำตอบคือ m⁸ / (256 n⁴⁴) หารข้างในก่อนได้ −4m⁻²n¹¹ แล้วยกกำลัง −4 ให้แต่ละตัวประกอบ ฐานที่ติดลบยกกำลังคู่จะกลายเป็นบวก
นิพจน์ทั้งก้อนยุบเหลือ a⁴b ดึง ab ออกจากวงเล็บแรก ใช้เอกลักษณ์ผลบวกกำลังสาม แจกแจง แล้วพจน์ ab⁴ จะตัดกันพอดี
นิพจน์ทั้งก้อนยุบเหลือเพียง a รวมแต่ละวงเล็บให้อยู่บนตัวส่วน a+b พลิกวงเล็บที่สองเพราะเลขชี้กำลัง −1 ตัดทอน แล้วจึงลบ 3b ที่ห้อยท้าย
คำตอบคือ 17 เปลี่ยน 2 log5(√x + 2) ให้เป็น log5 ของกำลังสอง ถอด log ทิ้งเพราะฐาน 5 > 1 แล้วพจน์ x ตัดกันเหลือ 28 < 7√x จึงได้ x > 16
รากทั้งสี่คือ x = −1, 3/2, 2 − √3 และ 2 + √3 แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสี่ด้วยทฤษฎีบทรากตรรกยะและการหารสังเคราะห์ แล้วใช้สูตรกำลังสอง
ผลบวกของรากคือ −3 โดเมน x ≥ −5 ตัด x = −6 ทิ้ง ส่วนตัวประกอบที่เป็นรากให้รากเพิ่มมาอีกตัวคือ x = −5 รากจึงเป็น 2 กับ −5
การทำตัวส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะให้ x = 2 + √3 และ y = 2 − √3 ดังนั้น x + y = 4 และ xy = 1 เอกลักษณ์สมมาตรจึงให้ x² + y² = 14, x³ + y³ = 52 และ 4x² + 7xy + 4y² = 63
อย่างละหนึ่งดอกราคา 6.00 ขาว 2 บวกเหลือง 1 ราคา 5 ขาว 2 บวกแดง 3 ราคา 10.50 และเหลือง 3 บวกแดง 2 ราคา 11 แก้ด้วยวิธีแทนค่า