Algebra
ลากแล้ววางหรือ คลิก เพื่อเพิ่มรูปภาพ
Real algebra questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
ส่ง W₂ เข้าสู่ปริภูมิคู่กันของ W₁ ด้วย x ↦ ⟨x, ·⟩ ภาพของการส่งมีมิติไม่เกิน dim W₁ ทฤษฎีบทอันดับ-นัลลิตีจึงบังคับให้เคอร์เนล W₂ ∩ W₁⊥ มีมิติอย่างน้อย dim W₂ − dim W₁ ≥ 1
ไม่มีคำตอบเลย จัดรูปข้างขวาได้ |x| = −5 และค่าสัมบูรณ์คือระยะทางจากศูนย์ จึงเท่ากับจำนวนลบไม่ได้
คำตอบเดียวคือ x = −5/2 เมื่อค่าสัมบูรณ์เท่ากับศูนย์จะไม่ต้องแยกกรณี เพราะศูนย์เป็นจำนวนเดียวที่ห่างจากศูนย์เป็นระยะศูนย์
คำตอบคือ x = 0 และ x = 10/3 เพราะ |A| = 5 บังคับให้ A = 5 หรือ A = −5 สมการค่าสัมบูรณ์เดียวนี้จึงกลายเป็นสมการเชิงเส้นธรรมดาสองสมการ
คำตอบสองค่าคือ x = −2/3 และ x = −2 ค่าสัมบูรณ์ที่เท่ากับจำนวนบวกให้สองกรณีคือ 3x+4 = 2 และ 3x+4 = −2 ซึ่งแก้ได้กรณีละขั้นตอนเดียว
คำตอบคือ x = −1/4 และ x = −5/4 แยก |4x + 3| = 2 ออกเป็นสองกรณีคือ 4x + 3 = 2 และ 4x + 3 = −2 แล้วแก้สมการเชิงเส้นทีละกรณี
คำตอบคือ x = 0 และ x = 10 แยกสมการเป็น 5 − x = 5 และ 5 − x = −5 สัมประสิทธิ์ของ x ที่เป็นลบคือสิ่งที่ทำให้กรณีที่สองได้ x = 10
คำตอบคือ x = 3.4 และ x = −3.4 เครื่องหมายลบในเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ไม่เปลี่ยนอะไรเลย เพราะจำนวนหนึ่งกับจำนวนตรงข้ามของมันอยู่ห่างจากศูนย์เท่ากัน
คำตอบคือ x = 5 และ x = 3/23 ดึงค่าคงตัวออกนอกเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ คูณไขว้ได้ 8|2x − 3| = 7|x + 3| แล้วยกกำลังสองได้ 23x² − 118x + 15 = 0
คำตอบคือ x = −1 และ x = 2 การแยกที่ x = 0 และ x = 1 ให้สามกรณี โดยกรณีตรงกลางยุบเหลือ 1 = 3 จึงไม่มีคำตอบ
มีคำตอบสี่ค่าคือ x = ±4 และ x = ±√10 ค่าสัมบูรณ์ที่ครอบสมการกำลังสองแยกออกเป็น x²−13 = 3 และ x²−13 = −3 ซึ่งแต่ละสมการให้รากสองค่า
คำตอบคือ −1 ≤ x ≤ 2 ค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับกลายเป็นอสมการคู่แบบปิดหนึ่งชุด คือ −3 ≤ 2x − 1 ≤ 3 แก้ได้ด้วยการบวก 1 แล้วหารสอง
คำตอบคือ −9 < x < 4 ค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่าแตกออกเป็นอสมการคู่ชุดเดียว −13 < 2x + 5 < 13 ซึ่งแก้ได้ด้วยการลบ 5 แล้วหารสอง
คำตอบคือ w ≤ 40/7 หรือ w ≥ 44/7 หารด้วย 7 ก่อน จากนั้นค่าสัมบูรณ์แบบมากกว่าหรือเท่ากับจะแยกออกเป็นรังสีสองเส้นที่พุ่งออกนอก ไม่ใช่ช่วงเดียว
คำตอบคือ w ≤ 3 หรือ w ≥ 9 หารด้วย 7 ได้ |w − 6| ≥ 3 แล้วอ่านว่า w อยู่ห่างจาก 6 อย่างน้อย 3 หน่วย ได้ทั้งสองทิศทาง
คำตอบคือ a < −1 หรือ a > 1/3 เมื่อมีค่าสัมบูรณ์อยู่ทั้งสองข้าง การยกกำลังสองย้อนกลับได้ ปัญหาจึงกลายเป็นอสมการกำลังสอง 3a² + 2a − 1 > 0
คำตอบคือ m < −9 หรือ m > 9 แยก |3m| ให้อยู่ลำพัง หารด้วย −2 พร้อมกลับเครื่องหมายได้ |3m| > 27 แล้วแยกอสมการแบบพุ่งออกเป็นสองกิ่ง
คำตอบคือจำนวนจริงทุกจำนวน หลังหารด้วย −2 อสมการอ่านได้ว่า |3m| > −24 และเนื่องจากค่าสัมบูรณ์ไม่เคยเป็นลบ อสมการจึงเป็นจริงเสมอ
คำตอบคือ x ≤ (11 − √97)/4 หรือ x ≥ 5 ประมาณ x ≤ 0.288 หรือ x ≥ 5 จุดหักที่ 2, 3 และ 4 ให้สี่กรณี และมีเพียงสองกรณีนอกสุดที่มีคำตอบ
คำตอบคือ 4/3 ≤ x ≤ 2 ข้างขวาที่มีตัวแปรต้องถูกบังคับให้ไม่เป็นลบก่อน จากนั้นจึงแก้อสมการประกบ −(x−1) ≤ 2x−3 ≤ x−1
คำตอบคือ x < −2, x = 1 หรือ x > 2 ตัวเศษไม่เคยเป็นลบ เครื่องหมายจึงตามตัวส่วน และ x = 1 ทำให้เศษส่วนทั้งก้อนเท่ากับศูนย์พอดี
คำตอบของ (|x − 2| − x)/(x² − 4) ≤ 0 คือ (−2, 1] ∪ (2, +∞) แยกค่าสัมบูรณ์ที่ x = 2 สร้างตารางเครื่องหมาย แล้วดูว่าทำไม x = 1 จึงรวมอยู่ในคำตอบ แต่ ±2 ต้องตัดทิ้ง
คำตอบคือ √2 ประมาณ 1.414214 การบวกพจน์ที่เหมือนกันได้ 2/√2 แล้วคูณด้วย √2/√2 ทำให้ 2 ตัดกันพอดี เหลือ √2 พอดี
ผลบวกคือ 7 เท่าของรากที่ห้าของ 4 เพราะทั้งสองพจน์มีดัชนีรากและจำนวนใต้รากเหมือนกันอยู่แล้ว จึงบวกเฉพาะสัมประสิทธิ์ 2 กับ 5 เข้าด้วยกัน
ผลบวกเท่ากับ 37 เท่าของรากที่สองของ 2 จัดรูป √50 เป็น 5√2 และ √32 เป็น 4√2 แล้วบวกสัมประสิทธิ์ 25 กับ 12 ที่ได้
ผลลัพธ์คือ 7x² − 7x + 9 มีดีกรี 2 กระจายเครื่องหมายลบเข้าไปในพหุนามตัวที่สามก่อน แล้วจึงรวมพจน์ x², x และค่าคงตัวแยกกัน
ผลบวกคือ −x³ + 8x² − 15x − 4 และมีดีกรี 3 บวกสัมประสิทธิ์ของกำลังที่ตรงกัน พจน์กำลังสามไม่ตัดกัน ดีกรีจึงยังคงเป็น 3
ผลบวกคือ −4x² − 11x + 13 ดูวิธีจัดพจน์ที่คล้ายกันตามดีกรี เหตุใดพจน์ −11x ที่มีตัวเดียวจึงตกทอดมาตรง ๆ และตรวจผลลัพธ์ที่ x = 1 อย่างไร
(f + g)(x) = 6x − 4 โดยมีโดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด วางสูตรทั้งสองซ้อนกัน บวกพจน์ x ได้ 5x + x = 6x และค่าคงตัวได้ 2 − 6 = −4 แล้วจึงระบุโดเมน
(f + g)(x) = 4x − 58 โดยมีโดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด พจน์ x² ทั้งสองเป็นจำนวนตรงข้ามกันพอดีจึงตัดกัน ผลบวกของพหุนามกำลังสองสองตัวจึงออกมาเป็นเชิงเส้น
ผลบวกเท่ากับ √10 การยกกำลังสองให้ 6 + 2√(9−5) = 10 และเนื่องจากรากทั้งสองเป็นบวก ผลบวกจึงเป็นรากบวก ไม่ใช่ −√10
คำตอบคือ 6x² + yz การถอดวงเล็บทำได้อย่างปลอดภัยเพราะทั้งสองก้อนถูกบวกกัน ไม่ใช่ลบกัน และพจน์ z² ทั้งสองตัดกันพอดี
ผลบวกคือ 2(x² − 8x + 32) / (x(x − 8)) การคูณไขว้ขึ้นบนตัวส่วน x(x − 8) ให้ x² + (x − 8)² ซึ่งกระจายและแยกตัวประกอบได้เป็น 2(x² − 8x + 32)
ผลบวกคือ (x²+13x+10)/(2(x−1)(x+2)) แยกตัวประกอบ 2x−2 เป็น 2(x−1) และ x²+x−2 เป็น (x+2)(x−1) เพื่อมองเห็นตัวส่วนร่วมน้อย แล้วขยายตัวเศษทั้งสองขึ้นไปหามัน
เดิมมีบัตรผู้ใหญ่ 108 ใบและบัตรเด็ก 48 ใบ แล้วบัตรผู้ใหญ่เพิ่มเป็น 128 ใบ การเขียนจำนวนเป็น 9k และ 4k ทำให้เหลือตัวไม่ทราบค่าเพียงตัวเดียว และ 3(9k + 20) = 8(4k) ให้ k = 12
พี่ชายอายุ 25 3/5 ปี ให้อายุคนที่อ่อนกว่าเป็น x เขียน 8x + 8 = 3(x + 8) แก้ได้ 5x = 16 แล้วคูณกลับเพื่อหาอายุของคนที่แก่กว่า
คำตอบคือพี่ชายอายุ 128/5 = 25.6 ปี และน้องอายุ 16/5 = 3.2 ปี การตั้งอายุของน้องเป็น x ให้ 8x + 8 = 3(x + 8) ดังนั้น 5x = 16
ลูกอายุ 18 ปีและพ่ออายุ 72 ปี สมการ 4x − 12 = 10(x − 12) ให้ x = 18 และเมื่อสิบสองปีก่อนอายุคือ 6 กับ 60 ซึ่งเป็นอัตราส่วน 10 พอดี
พี่อายุ 25 ปีและน้องอายุ 5 ปี การตั้ง 5a + 5 = 3(a + 5) ให้ 2a = 10 ทั้งพี่และน้องต่างแก่ขึ้น 5 ปีเท่ากัน ซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้อัตราส่วนลดลง
ฉันอายุ 20 ปีและแม่อายุ 60 ปี การลบ 10 ออกจากอายุทั้งสองให้ 3x − 10 = 5(x − 10) ดังนั้น x = 20 เมื่อสิบปีก่อนอายุคือ 10 กับ 50 ซึ่งเป็นอัตราส่วน 5
อายุคือ 88/3 กับ 50/3 ปี ประมาณ 29.33 และ 16.67 ปี สองเงื่อนไขให้สองสมการ การแทนค่าลดรูปทั้งสองเหลือ 3D − 4 = 46
พื้นที่คือ 140 ตารางเมตร ให้ความกว้างเป็น x ความยาวจึงเป็น x + 4 การแก้ 2(2x + 4) = 48 ให้ x = 10 ด้านทั้งสองจึงเป็น 10 ม. กับ 14 ม.
พื้นที่คือ 160 ตารางเมตร ให้ความกว้างเป็น x เขียนความยาวเป็น x + 6 แก้ 2(x + (x+6)) = 52 ได้ x = 10 แล้วคูณ 10 ด้วย 16
จาก u₈ = u₁ + 7d ได้ 7d = 26 − 1/3 = 77/3 ดังนั้น d = 11/3 การแทนค่ากลับให้ u₈ = 1/3 + 7(11/3) = 78/3 = 26 ซึ่งยืนยันเศษส่วนนี้
เนื่องจาก u₄ = 10 สมการที่สองจึงให้ u₆ = 16 และเพราะ u₆ − u₄ = 2d จึงได้ 2d = 6 และ d = 3 โดยมี u₁ = 1 ที่สร้างลำดับทั้งชุดขึ้นมาใหม่ได้
จาก u₄ − u₂ = 2d ได้ d = 2 และ u₁ = 1 จากนั้น u₁₅ = 1 + 14(2) = 29 พจน์ที่สิบห้าจึงเป็น 29 ไม่ใช่ 31 ที่ชวนให้หลงเลือก
กฎพจน์ทั่วไป u_n = u_1 + (n − 1)d เมื่อ u₁ = 3 และ d = 2 ให้ u₅ = 3 + 4(2) = 11 การเขียนไล่ 3, 5, 7, 9, 11 ยืนยันว่าพจน์ที่ห้าคือ 11
ค่าบริการรายเดือนคือ 30 + 0.05t + 0.10x ดอลลาร์ เมื่อโทร t นาทีและส่งข้อความ x ข้อความ การแทนค่ารูปแบบการใช้งานห้าแบบให้ 40, 38.80, 41.25, 43.50 และ 42.50 ดอลลาร์
คำตอบคือ x ≤ −9/2 หรือช่วง (−∞, −9/2] แยกลูกโซ่ออกเป็นสองอสมการ สังเกตว่าพจน์ x² ตัดกันหมด แล้วหาอินเตอร์เซกชันของคำตอบทั้งสองชุด
log 1576 / log 2.44 = log ฐาน 2.44 ของ 1576 = 8.2541 ฐานที่เหมือนกันตัดกันไป และการยก 2.44 กำลัง 8.2541 ให้ค่ากลับมา 1575.99 ซึ่งยืนยันเลขชี้กำลังนี้
คำตอบ: มีเพียงสองนิพจน์หลังที่เท่ากัน นิพจน์ที่ 1 จัดรูปได้ 0.015S − 0.955 ส่วนนิพจน์ที่ 2 และ 3 ได้ 0.0138462S − 0.789231 เหมือนกัน ทั้งสองฝั่งเท่ากันเฉพาะที่ S = 431/3 เท่านั้น
มีเหรียญ 5 หน่วยอยู่ 30 เหรียญ และเหรียญ 10 หน่วยอยู่ 30 เหรียญ การเขียนจำนวนอีกชนิดเป็น 60 − x เปลี่ยนเงื่อนไขสองข้อให้เหลือสมการเดียวคือ 5x + 10(60 − x) = 450
มีเหรียญ 5 หน่วยอยู่ 30 เหรียญ และเหรียญ 10 หน่วยอยู่ 50 เหรียญ สมการเดียว 5x + 10(80 − x) = 650 เก็บทั้งเงื่อนไขเรื่องจำนวนและเรื่องมูลค่าไว้พร้อมกัน
นิพจน์นี้เท่ากับ (2x + 2)² = 4(x + 1)² ให้มองหารูปแบบ A² + 2A + 1 โดยให้ A = 2x + 1 แทนการกระจายออก แล้วค่อยดึง 2 ออกจากวงเล็บ
คำตอบคือ x ไม่ใช่ 1x และไม่ใช่ 0 การบวกสัมประสิทธิ์ได้ 4 + 2 − 5 = 1 และสัมประสิทธิ์ 1 ไม่ต้องเขียนไว้หน้าตัวแปร
คำตอบคือ −9xy² ทั้งสามพจน์มีส่วนที่เป็นตัวแปร xy² เหมือนกันหมด จึงรวมเฉพาะสัมประสิทธิ์: 6 − 3 − 12 ได้ −9 ส่วน xy² ติดไปด้วยโดยไม่เปลี่ยน
คำตอบคือ x ทั้งสามพจน์มีตัวแปรเดียวกัน จึงบวกกันเฉพาะสัมประสิทธิ์: 9 − 14 + 6 = 1 และสัมประสิทธิ์ 1 ไม่มีใครเขียนออกมา
รูปที่จัดแล้วคือ 2x² + 7x − 7 จัดกลุ่มพจน์ตามดีกรี: 3x² − x² = 2x² จากนั้น 2x + 5x = 7x ส่วนค่าคงที่ −7 ไม่มีคู่ให้จับ
รูปที่จัดแล้วคือ −x⁵ − 15x⁴ − 6x + 1 มีเพียงพจน์ x³ สองพจน์ที่เป็นพจน์คล้ายกันและหักล้างกันหมด ทำให้พจน์ดีกรี 3 หายไปทั้งพจน์
คำตอบ: x = −12/5 = −2.4 รวมพจน์ x ทั้งสามพจน์ให้เป็น −5x และรวมค่าคงที่ทั้งสามให้เป็น −12 แล้วหารเพื่อให้ได้ x = −12/5 ในรูปเศษส่วน
−12xy + 9xy − 3xy = −6xy ทั้งสามพจน์มีส่วนที่เป็นตัวแปร xy เหมือนกันหมด จึงบวกกันเฉพาะสัมประสิทธิ์: −12 + 9 − 3 = −6 ส่วน xy ปล่อยไว้เหมือนเดิม
คำตอบคือ x ≈ 0.0011432627 ทั้งสามพจน์เป็นพจน์คล้ายกัน สัมประสิทธิ์จึงบวกกันได้ 87,000,451.12 แล้วหารครั้งเดียวก็จบ
ถ้า a < b แล้ว 3 − 2a > 3 − 2b และในทางกลับกันก็เช่นกัน การลบ 3 ออกทั้งสองข้างไม่มีผล แต่การหารด้วย −2 ทำให้อสมการกลับด้าน
ถ้า a < b แล้ว 4a − 3 < 4b − 3 ทั้งการคูณด้วย 4 ซึ่งเป็นบวกและการลบ 3 ต่างคงอสมการไว้ ทิศทางจึงไม่เปลี่ยนเลย
a³ + b³ มีค่าไม่น้อยกว่า a²b + ab² เสมอ และเท่ากันเฉพาะเมื่อ a = b เพราะผลต่างแยกตัวประกอบได้เป็น (a + b)(a − b)² ซึ่งเป็นผลคูณของก้อนที่ไม่เป็นลบ
เคลลีคิดผิด ค่าเริ่มต้นของทั้งสองฟังก์ชันเท่ากับ −1 ฟังก์ชัน H มีความชัน 1/2 และผ่าน (8, 3) เมื่อย้อนกลับไปที่ x = 0 ค่า y จะลดลง 4 ลงมาอยู่ที่ −1 เท่ากับ G พอดี
คำตอบคือ 3(x − 2/3)² + 2/3 มีค่าต่ำสุด 2/3 ดิสคริมิแนนต์เท่ากับ −8 ศูนย์ของมันจึงเป็นคู่จำนวนเชิงซ้อน (2 ± i√2)/3 ไม่ใช่จำนวนจริง
คำตอบคือ (x − 1)² + 2 ค่าต่ำสุดจึงเป็น 2 ที่ x = 1 ดิสคริมิแนนต์เท่ากับ −8 ซึ่งเป็นเหตุผลที่สมการกำลังสองนี้แยกตัวประกอบบนจำนวนจริงไม่ได้
คำตอบ: ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง โดย x = −0.19717 ± 0.13382i ย้าย −0.2 ข้ามไปได้ 4.3957x² + 1.7334x + 0.2496 = 0 แล้วอ่านดิสคริมิแนนต์ที่เป็นลบ −1.38399
(g∘f)(x) = 128x² − 456x + 403, (h∘f)(2) = 11 และ (f∘h)(x) = 16x³ + 36x − 15 ให้แทนฟังก์ชันข้างในลงไปทุกที่ที่ตัวแปรของฟังก์ชันข้างนอกปรากฏ
คำตอบคือ −3 < x ≤ −2 หรือ (−3, −2] การลบ 4 ออกจากทั้งสามส่วนของอสมการประกอบทำให้ x โดดเดี่ยวได้ในครั้งเดียวโดยไม่มีเครื่องหมายพลิก
คำตอบคือ 1/6 < x < 17/60 การคูณด้วย 7 หารด้วย 60 และลบ 1 ล้วนเป็นการดำเนินการด้วยจำนวนบวก เครื่องหมายอสมการทั้งสองจึงชี้ทิศเดิม
คำตอบคือ 17/60 < x < 2/5 คูณทั้งสามส่วนด้วย 7 หารด้วย 60 แล้วลบ 1 ทุกขั้นคงทิศทางไว้เพราะตัวคูณทั้งสองเป็นจำนวนบวก
คำตอบคือ 8 < y ≤ 16 บวก 8 เข้าทั้งสามส่วน แล้วหารทั้งสามส่วนด้วย 3 เนื่องจาก 3 เป็นบวก เครื่องหมายอสมการและสถานะเข้ม/ไม่เข้มจึงไม่เปลี่ยนเลย
คำตอบคือ x > 7/5 ตัวแปรอยู่ในส่วนนอกทั้งสองด้าน จึงต้องแยกโซ่ออกเป็นสองอสมการแล้วหาอินเตอร์เซกชันของเซตคำตอบ
คำตอบคือ −11/60 < x < −1/15 ขอบทั้งสองออกมาเป็นลบเพราะ 60/7 มีค่าราว 8.57 อยู่แล้ว จึงต้องดึง 1 + x ให้ต่ำกว่า 1 เพื่อให้เข้ากรอบ
ไม่มีคำตอบ อสมการนี้เรียกร้องจำนวนที่มากกว่า 8 และน้อยกว่า 7 พร้อมกัน และการคิดพีชคณิตก็ยืนยันด้วยการให้ขอบที่กลับด้านกัน
คำตอบคือ −1/15 < x < 1/20 นี่คือกรอบที่คร่อมศูนย์ เพราะ 60/7 มีค่าราว 8.57 ซึ่งอยู่ในช่วงเป้าหมายตั้งแต่ x = 0 แล้ว
ไม่มีคำตอบ เมื่อจัดรูป 4018 − 2734 ให้เป็น 1284 แล้ว โซ่นี้เรียกร้อง 3818 ≤ 499x − 20y < 1284 และ 1284 ≤ 33x − 78y < −2534 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ทั้งคู่
คำตอบคือ −1 ≤ x ≤ 3 ทำกับทั้งสามส่วนพร้อมกัน บวก 1 ทุกส่วนได้ −3 ≤ 3x ≤ 9 แล้วหารด้วย 3 ซึ่งเป็นบวก เครื่องหมายจึงไม่พลิก
คำตอบ: 15/2 < x ≤ 21/2 นั่นคือ (7.5, 10.5] คูณทั้งสามส่วนด้วย 12 ได้ 2 < 2x − 13 ≤ 8 บวก 13 แล้วหารสอง ปลายเข้มและปลายปิดคงสถานะเดิมไว้
A = x⁵(x − 1)⁵ / (x² + 1)⁴ กฎเลขชี้กำลังย้ายสัมประสิทธิ์แต่ละตัวขึ้นไปเป็นเลขชี้กำลัง และสัมประสิทธิ์ที่เป็นลบส่งตัวประกอบของมันลงไปอยู่ตัวส่วน
คำตอบที่เป็นจำนวนจริงคือ x = −33 ยกกำลังสามทั้งสองข้างเพื่อกำจัดเลขชี้กำลัง 1/3 แก้ 2x + 2 = −64 แล้วดูว่าทำไมรากอันดับคี่จึงไม่สร้างคำตอบแปลกปลอม
เซตคำตอบคือ (−∞, −2) ∪ (1, 3) หาศูนย์ทั้งสามค่า แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นช่วง แล้วอ่านเครื่องหมายของผลคูณในแต่ละช่วงด้วยตารางเครื่องหมาย
พหุนามคือ f(x) = 5(x + 3)(x − 6)(x − 10) = 5x³ − 65x² + 60x + 900 ดูว่าศูนย์แต่ละตัวกลายเป็นตัวประกอบอย่างไร และสัมประสิทธิ์นำเป็นตัวกำหนดสเกลอย่างไร
ผลบวกของรากเท่ากับ 10 ลบแบบรูปเชิงเส้น 4x − 3 ออกไป แยกตัวประกอบผลต่างเป็น a(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) แล้วใช้สูตรเวียตา ค่าคงตัว a จะตัดกันหายไป
ผลหารผลต่างลดรูปได้เป็น 2x + h − 5 ดูวิธีกระจาย f(x + h) ลบ f(x) ดึง h ออกจากตัวเศษแล้วตัดทิ้ง ทีละขั้นอย่างละเอียด
โดเมนของ f(x) = 1/(8/(x − 5) − 2) คือ (−∞, 5) ∪ (5, 9) ∪ (9, ∞) เศษส่วนซ้อนซ่อนข้อจำกัดไว้สองข้อ คือตัวส่วนชั้นในและตัวส่วนชั้นนอก
คำตอบคือ ((3−√17)/2, 0) ∪ ((3+√17)/2, ∞) ทำฐานให้เท่ากัน กลับเครื่องหมายอสมการเพราะ 2/5 < 1 แล้วสร้างตารางเครื่องหมายของ (x²−3x−2)/x
27x³+y³=(3x+y)(9x²−3xy+y²), x³−8y³=(x−2y)(x²+2xy+4y²), x³+512=(x+8)(x²−8x+64) ฝึกมองหากำลังสามสมบูรณ์สองก้อนแล้วเขียนตัวประกอบออกมา
คำตอบคือ ab = −1/4 จาก a = −1/2 และ b = 1/2 การที่เซตคำตอบอยู่ระหว่างรากบังคับให้ a < 0 และพจน์ค่าคงตัว 1 ตรึงตัวประกอบมาตราส่วนไว้
คำตอบคือ 5/4 หารเพื่อแยกสังยุคของ z−1 ออกมา ทำตัวส่วนให้เป็นจำนวนจริง หาสังยุคทั้งสองข้างเพื่อดึง z กลับมา แล้วใช้ |z|² = a² + b²
กราฟของ g คือกราฟของ f ที่เลื่อนลงตรง ๆ 9 หน่วย ทำให้จุดยอดย้ายจาก (0, 0) ไปที่ (0, −9) รูปตัว V และความชันทั้งสองข้างไม่เปลี่ยน
ที่จุดกำเนิด ทั้ง z = 0 และ z = 2 สอดคล้องกับสมการ จึงไม่มี f ที่มีค่าเดียว พื้นผิวนี้คือ x² + y² = √(8z) − z² เมื่อ 0 ≤ z ≤ 2
คำตอบคือ h > 1.3397214 ไม่มี h ≤ 0 ที่ใช้ได้ และเมื่อ h > 0 อสมการสมมูลกับ h⁴ − 1.8h − 0.81 > 0 ซึ่งมีรากบวกเพียงรากเดียว หาได้ด้วยระเบียบวิธีนิวตัน
คำตอบคือ x ≤ 1 คูณตลอดด้วย ค.ร.น. 6 เพื่อกำจัดเศษส่วนทั้งสอง และการหารด้วย −11 ในขั้นสุดท้ายคือขั้นที่ทำให้เครื่องหมายอสมการพลิกกลับ
คำตอบคือ x < 2 โดยที่ x ≠ −1 การแยกตัวประกอบได้ (x + 1)²(x² − x + 1)(2 − x) > 0 และเนื่องจากกำลังสองกับพหุนามกำลังสองไม่เคยเป็นลบ จึงมีเพียง 2 − x ที่กำหนดเครื่องหมาย
ลำดับเลขคณิต 1001 พจน์จาก 1 ถึง 2018 มี d = 2017/1000 พจน์ที่ 501 คือ 1 + 500d = 1 + 2017/2 = 2019/2 = 1009.5 ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของ 1 กับ 2018 พอดี
การวางจำนวน 3 จำนวนระหว่าง 2 กับ 22 ทำให้ได้ลำดับเลขคณิต 5 พจน์ ดังนั้น 22 = 2 + 4d และ d = 5 ค่ากลางที่แทรกคือ 7, 12 และ 17 ได้เป็น 2, 7, 12, 17, 22
คำตอบคือ x > 3 กิ่ง x < −2 ถูก x ≥ −1 ลบทิ้งไป เพราะสองเงื่อนไขนี้เป็นจริงพร้อมกันไม่ได้ เหลือเพียงกิ่ง x > 3
คำตอบคือ (0.4433, 0.7268) และ (−0.6025, 4.9100) จับสองนิพจน์มาเท่ากันแล้วกำจัดตัวส่วน จะได้สมการกำลังสอง 9.36x² + 1.49x − 2.5 = 0
คำตอบคือประมาณ (0.4569, 0.6724) และ (−0.9500, 6.2998) กำจัดตัวส่วนได้ 288x² + 142x − 125 = 0 แก้สมการ แล้วตรวจว่าไม่มีรากใดตกที่ขั้ว
อินเตอร์เซกชันคือช่วงลดรูป {−10} ทั้งสองช่วงรวม −10 ไว้ในฐานะจุดปลายแบบปิด และไม่มีจำนวนอื่นอยู่ในทั้งสองช่วง ส่วนที่ทับกันจึงเป็นจุดเดียว
คำตอบคือ t⁻¹(x) = x²/9 − 6 เมื่อ x ≥ 0 สลับ x กับ y หารด้วย 3 ก่อนยกกำลังสอง ส่วนข้อจำกัดมาจากพิสัยของฟังก์ชันเดิมที่ไม่เป็นลบ
ไม่ถูกต้อง ลูกน้ำในสัญกรณ์สร้างเซตหมายถึง และ เซตนี้จึงเป็นเซตว่าง ถ้าต้องการบรรยาย [2, 5] ∪ {10} ต้องเขียนคำว่า หรือ เป็น {x | 2 ≤ x ≤ 5 หรือ x = 10}
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง f(−x) = −x√(9 − x) ซึ่งไม่ตรงกับทั้ง f(x) และ −f(x) อีกทั้งโดเมน x ≥ −9 ก็ไม่สมมาตรรอบศูนย์ตั้งแต่ต้น
จำนวนทั้งสามคือ 23, 24 และ 25 ตัวมากที่สุดจึงเป็น 25 ให้ตัวแรกเป็น x เขียนผลรวมเป็น 3x + 3 = 72 แก้ได้ x = 23 แล้วบวก 2 เพื่อให้ได้ตัวมากที่สุด
x = 6 เมื่อ y = 2x² − 21x + 64 กับ y = 3x + a ตัดกันเพียงจุดเดียว สมการกำลังสองจะมีรากซ้ำ ดังนั้น x = 24/4 = 6 และ a = −8 พร้อมอธิบายดิสคริมิแนนต์ครบถ้วน
สมการนี้มีรากเดียวคือ x = −3 ผลบวกของรากจึงเท่ากับ −3 การเปลี่ยนฐานเปลี่ยนผลหารของลอการิทึมให้เป็นลอการิทึมเดียวที่มีฐาน x + 5
คำตอบคือ x ≤ −5/2, x = 0 หรือ 1/6 ≤ x < 1/2 แยกกรณีตามเครื่องหมายของ x หารด้วย x (กลับเครื่องหมายเมื่อ x < 0) และใช้ว่า log ฐาน 1/3 เป็นฟังก์ชันลด
พิสูจน์ว่าถ้าเมทริกซ์จัตุรัสสลับที่ได้กับเมทริกซ์ทุกตัวที่ขนาดเท่ากัน มันต้องเท่ากับ λI โดยใช้เมทริกซ์หน่วย E_ij บังคับให้สมาชิกนอกแนวทแยงทุกตัวเป็นศูนย์
ผสมสารละลาย 20% จำนวน 10 ลิตร กับสารละลาย 50% จำนวน 10 ลิตร จะได้ 20 ลิตรที่ความเข้มข้น 35% ตั้งสมการปริมาตรและสมการแอลกอฮอล์บริสุทธิ์แล้วแก้ระบบ
ผลต่างลดรูปเป็น 12a²b² − 5ab⁵ ซึ่งเป็นทวินามดีกรี 6 ดูว่าทำไมการลบจึงทำให้พจน์ a³b ตัดกัน และทำไมดีกรีจึงมาจากการบวกเลขชี้กำลัง
ช่องผลหารที่หายไปคือ A = −3 ผลหารจึงเป็น x − 3 และเศษเหลือ 0 เรียนรู้ว่าแต่ละช่องของตารางการหารพหุนามเกิดขึ้นอย่างไร ทีละขั้น
รากคือ x = (11 − √29)/2 = 2.807 และ x = (3 + √13)/2 = 3.303 แยกกรณีที่ x = 3 แก้สมการกำลังสองในแต่ละกิ่ง แล้วเก็บเฉพาะรากที่เข้าเงื่อนไข
คำตอบคือ 2 − 2√3 ≤ x ≤ 2 + 2√3 รากให้ f(x) = a(x + 1)(x − 5) ค่าต่ำสุด −18 ที่จุดยอด x = 2 บังคับให้ a = 2 แล้วจึงแก้ 2x² − 8x − 10 ≤ 6
คำตอบที่เป็นจำนวนจริงคือ x = −12 และ x = −13 แทน u = x + 4 เพื่อเปลี่ยนสมการรูปกำลังสองให้เป็น u² + 17u + 72 = 0 แยกตัวประกอบแล้วแปลงกลับ
ค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ของ n คือ 14 แยกตัวประกอบได้ f(x) = a(x − 1)(x + 7) จึงได้ b = 6a และ a + b = 7a ส่วนจำนวนเต็ม a ที่น้อยที่สุดที่ใช้ได้คือ 2 ได้ 14
คำตอบคือ 7/4 < k < 13/6 เงื่อนไขเครื่องหมาย f(0) > 0, f(1) < 0, f(2) < 0, f(3) > 0 ตรึงพารามิเตอร์ไว้ และผลคูณของรากใช้ตรวจซ้ำได้
คำตอบคือ (2√7 − 2√2) / 5 คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุค √7 − √2 เพื่อให้ผลต่างกำลังสองล้างรากทั้งสองตัวไปพร้อมกัน
เศษเหลือคือ 26x − 47 ถ้า f(x) หารด้วย 2x² − 3x + 4 เหลือเศษ 2x + 1 ให้ยกกำลังสามเศษนั้น แล้วลดรูปด้วยกฎ x² = (3x − 4)/2
ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือหาร x³ − 2 ด้วย x − 1 ได้ในขั้นตอนเดียวโดยไม่ต้องหารยาว พร้อมอธิบายว่าทำไมเศษเหลือจึงเป็นค่าคงตัว ไม่ใช่พหุนาม
อัตราเร็วขาไปคือ 50 กม./ชม. และขากลับ 60 กม./ชม. แปลง 4 ชม. 24 นาที เป็น 4.4 ชม. เขียนเวลาทั้งสองขาเป็นระยะทางหารอัตราเร็ว แล้วแก้ 220/v = 4.4
คำตอบคือ 3037 สมการลักษณะเฉพาะ (r − 2)² = 0 ให้ a_n = (A + Bn)2^n ดังนั้น a_2025 = 6,149,925 × 2^2025 และ b/c = 6,149,925/2025 = 3037
พจน์ที่ 19 คือ 91.66672 ส่วนจำนวนเต็มจึงเป็น 91 ผลต่างลดลงครึ่งหนึ่งและสลับเครื่องหมาย ลำดับลู่เข้าสู่ (a1 + 2a2)/3 = 275/3 ไม่ใช่ 2a2 − a1
คำตอบคือ m⁸ / (256 n⁴⁴) หารข้างในก่อนได้ −4m⁻²n¹¹ แล้วยกกำลัง −4 ให้แต่ละตัวประกอบ ฐานที่ติดลบยกกำลังคู่จะกลายเป็นบวก
นิพจน์ทั้งก้อนยุบเหลือ a⁴b ดึง ab ออกจากวงเล็บแรก ใช้เอกลักษณ์ผลบวกกำลังสาม แจกแจง แล้วพจน์ ab⁴ จะตัดกันพอดี
นิพจน์ทั้งก้อนยุบเหลือเพียง a รวมแต่ละวงเล็บให้อยู่บนตัวส่วน a+b พลิกวงเล็บที่สองเพราะเลขชี้กำลัง −1 ตัดทอน แล้วจึงลบ 3b ที่ห้อยท้าย
คำตอบคือ 17 เปลี่ยน 2 log5(√x + 2) ให้เป็น log5 ของกำลังสอง ถอด log ทิ้งเพราะฐาน 5 > 1 แล้วพจน์ x ตัดกันเหลือ 28 < 7√x จึงได้ x > 16
คำตอบคือ x > −2 การคูณด้วย 6 เปลี่ยนอสมการเป็น 6 − 3(x + 6) < 2(2x + 1) ซึ่งจัดรูปแล้วได้ −14 < 7x
x = −175.86 เพราะ 2.7421 มากกว่า 2.7 ผลต่างของส่วนกลับจึงเป็นลบ ทำให้ 1/x = −0.0421/7.40367 และ x ต้องออกมาติดลบ
x = 16.2196 ไม่ใช่ 16.2214 การแยก 1/x ให้อยู่โดดได้ (3.3 − 2.7421)/(2.7421 × 3.3) = 0.5579/9.04893 แล้วกลับเศษส่วนก้อนเดียวนี้ก็จบ
x = 17.7272 การแยก 1/x ให้อยู่โดดได้ (3.3 − 2.7821)/(2.7821 × 3.3) = 0.5179/9.18093 แล้วกลับเศษส่วนก้อนนี้ก็ได้คำตอบทันที
x = 1 เมื่อเศษส่วนหนึ่งส่วนสองก้อนเท่ากันและตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ ตัวส่วนต้องเท่ากัน จึงได้ 3x + 11 = 9x + 5 และทั้งสองข้างกลายเป็น 14
คำตอบคือ x = −1.3 การคูณไขว้ให้ 1 = 30x + 40 จึงได้ 30x = −39 และรากนี้เลี่ยงค่าที่ต้องยกเว้น x = −4/3 ได้
คำตอบคือ y = x/(8x − 1) โดย x ≠ 0 และ x ≠ 1/8 การรวมเศษส่วนให้ x + y = 8xy แล้วจัดพจน์ที่มี y เข้าด้วยกันก็ดึง y ออกมาเป็นตัวประกอบได้
คำตอบคือ x = 1 และ y = −1/2 การให้ a = 1/x และ b = 1/y เปลี่ยนระบบที่ไม่เชิงเส้นให้เป็นระบบเชิงเส้นธรรมดา ซึ่งแก้ด้วยการกำจัดตัวแปรได้ในสองบรรทัด
ตัวส่วนทั้งสองยุบเหลือ x² + 4x บวกค่าคงตัว การให้ v = x² + 4x จึงได้ v² + 8v + 7 = 0 มีเพียง v = −1 ที่ให้ x จริง คือ −2 ± √3
เนื่องจาก x(x+2) = (x+1)² − 1 การให้ u = (x+1)² เปลี่ยนสมการเป็น 1/(u−1) − 1/u = 1/12 นั่นคือ u² − u − 12 = 0 มีเพียง u = 4 ที่ใช้ได้ ให้ x = 1 หรือ x = −3
x > 2 นั่นคือช่วง (2, ∞) การคูณด้วย 3 ซึ่งเป็นบวกให้ 1 + x < 3x − 3 และเมื่อรวมพจน์แล้วเหลือ 4 < 2x โดยทิศทางไม่เปลี่ยน
คำตอบจริงคือ x = 0 และ x = 0.0156549 การมองเห็นราก x = 0 ที่ปรากฏชัด และการหาจุดต่ำสุดเพียงจุดเดียวที่ x = 0.0079085 พิสูจน์ว่ามีรากพอดีสองตัว
คำตอบคือ x = 0.9 การคูณด้วย 1 ไม่เปลี่ยนอะไรเลย สมการจึงเป็นเพียง 1 − x = 0.1 ซึ่งเป็นเชิงเส้นและมีคำตอบเดียวพอดี
คำตอบคือ x < 5 การย้ายพจน์ x ไปรวมไว้ทางขวาทำให้สัมประสิทธิ์เป็นบวก การหารด้วย 2 ในขั้นสุดท้ายจึงไม่ทำให้ทิศทางของอสมการเปลี่ยน
ตัวส่วนทั้งสองกระจายออกมาเป็น x² + 6x บวกค่าคงตัว การแทน u = x² + 6x จึงเปลี่ยนสมการเป็น 12/(u+5) + 15/(u+8) = 2 นั่นคือ 2u² − u − 91 = 0 ได้ u = 7 หรือ −13/2
x = 104022.99 การกระจายวงเล็บ 13% ก่อนจะเปลี่ยนสมการให้เป็น 139732000 = 1343.28x ซึ่งเหลือแค่การหารครั้งเดียวเมื่อรวบพจน์ x ไว้ข้างเดียวกันหมดแล้ว
x = 103254.32 เมื่อทางซ้ายมีเพียง 2.72x ที่ลอยอยู่ สัมประสิทธิ์ที่รวบได้จะเป็น 1353.28 และการหารเพียงครั้งเดียวก็จบโจทย์
คำตอบ: x = 12,110.83 คำนวณ 12812 × 1.0398 = 13,321.9176 กำจัดตัวส่วนได้ 13,321.9176 = 1.1x แล้วหารด้วย 1.1 เพื่อถอดส่วนเกิน 10% ออก
รากคือ x = 0, x = 1 และ x = −4/3 รวมพจน์กำลังสามสองพจน์ก่อน ดึงตัวประกอบร่วม 4x ออก แล้วแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสองที่เหลือ 3x² + x − 4
คำตอบคือ x = 13 บวกตัวเศษได้ 169 คูณทั้งสองข้างด้วย x ได้ 13x = 169 แล้วหารด้วย 13 เพราะ 169 = 13 ยกกำลังสอง
คำตอบคือ x = 96/7 หรือประมาณ 13.714 บวกกันได้ 192/x = 14 แล้ว 192/14 ต้องถูกลดทอนด้วยตัวประกอบร่วม 2 จึงจะเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
คำตอบคือ t = 8 การกระจาย −4 เข้าไปใน (t − 5) ให้ผลเป็น +20 ไม่ใช่ −20 เครื่องหมายตรงนี้คือจุดที่คนทำโจทย์นี้พลาดกันมากที่สุด
คำตอบคือ x = 6960 บวกตัวเศษก่อนได้ 348/x = 0.05 แล้วคูณไขว้ ซึ่งการหารด้วย 0.05 ก็คือการคูณด้วย 20 นั่นเอง
จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นคำตอบ หลังกระจายเครื่องหมายลบแล้ว ทั้งสองข้างยุบเหลือ 8x + 2 เหมือนกัน สมการนี้จึงเป็นเอกลักษณ์ที่มีคำตอบไม่จำกัด
คำตอบคือ x = 317/7.8 = 1585/39 หรือประมาณ 40.64 บวกตัวเศษก่อนแล้วคูณไขว้ และสังเกตว่าทศนิยมของคำตอบไม่รู้จบ
คำตอบ: x = 3200/3 หรือประมาณ 1066.67 เขียน 1.5 ใหม่เป็น 3/2 แล้วคูณ 1600 ด้วยส่วนกลับ 2/3 เพราะทศนิยมซ้ำไม่รู้จบ เศษส่วนจึงเป็นคำตอบที่แน่นอน
คำตอบ: x = 202.31 (ค่าแน่นอนคือ 176.0096/0.87) จัดรูปค่าคงตัวให้เหลือ 176.0096 รวบพจน์ x เป็น 0.87x แล้วหารเพื่อย้อนกลับไปหายอดรวมก่อนหัก
คำตอบ: x = 202,309,885.06 คำนวณค่าคงตัวได้ 176,009,600 ลบ 0.13x ออกจากทั้งสองข้างจนเหลือ 0.87x แล้วหารด้วย 0.87 เพื่อขยายฐานกลับเป็นยอดรวม
x = 16939/1.923 = 8808.63 คูณด้วย x แล้วบวก x เข้าไป สมการจะกลายเป็น 16939 = 1.923x ซึ่งก็คือกฎ x = ยอดรวม/(1 + อัตราส่วน) ที่แฝงตัวอยู่
คำตอบคือ [−4, −3) ยูเนียน (1, 2] อสมการชั้นนอกให้รังสีสองเส้น ชั้นในให้แถบหนึ่งแถบ อินเตอร์เซกชันจึงเป็นช่วงสั้น ๆ สองช่วง
x = −52/5 หรือ −10.4 คูณด้วย x + 10 ได้ 2 = −5x − 50 แล้วนำรากไปตรวจกับค่าที่ต้องตัดออก x = −10 ก่อนรับเป็นคำตอบ
คำตอบ: k = mg tan(α) / (4π² (R sin α − a)) ดึง 2πk ออกเป็นตัวประกอบร่วมทางซ้ายแล้วจึงหาร ตัวประกอบ 2π สองตัวจะรวมกันเป็น 4π²
คำตอบคือ x = −3 ข้างซ้ายเป็นเลขคณิตล้วน ๆ คือ 5 − 8 = −3 และ 2 + (−3) = −1 จึงได้ −1 = 2 + x แล้วลบ 2 ออกจากทั้งสองข้างได้ x = −3
ในที่นี้ x² + 1/x² = t² + 2 (สังเกตว่าเป็น บวก 2) สมการจึงกลายเป็น 2t² − 11t + 12 = 0 ได้ t = 4 หรือ 3/2 ซึ่งให้สี่ราก คือ 2 ± √5, 2 และ −1/2
คำตอบคือ x ประมาณ 1.71562 การผสมพจน์เลขชี้กำลังกับพจน์เชิงเส้นทำให้ไม่มีรูปปิด จึงต้องขังรากไว้ระหว่าง 1 กับ 2 แล้วแบ่งครึ่งช่วงจนลู่เข้า
คำตอบคือ x ≤ 0 หรือ x ≥ 2 โดยที่ x ≠ 3 การแทน t = 2ˣ ทำให้ตัวส่วนก้อนที่สองกลายเป็นกำลังสองสมบูรณ์ (t − 8)² และอสมการกลายเป็น (u + 4)(u + 7) ≥ 0
คำตอบคือ x = 10 กระจายออกได้ 320 − 20x = 240 − 12x จึงได้ 80 = 8x การหักออก 10 จากทั้งสองวงเล็บทำให้ปริมาณถ่วงน้ำหนักทั้งสองสมดุลกันที่ 120
คำตอบคือ x = 5/7 การถอดวงเล็บทำให้ −(4x + 2) กลายเป็น −4x − 2 จึงได้ 16x − 4 = 6 + 2x นั่นคือ 14x = 10 และเศษส่วน 10/14 ลดทอนเหลือ 5/7
คำตอบคือ x = 10/3 หรือประมาณ 3.33 รวมพจน์ได้ 30x = 100 และ 100/30 ต้องลดทอนด้วยตัวประกอบร่วม 10 ไม่ควรทิ้งไว้แบบเดิม
คำตอบคือ x = 121/2 หรือ 60.5 พอดี รวมพจน์คล้ายกันได้ 30x = 1815 แล้วตัดตัวประกอบร่วม 15 ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน
คำตอบคือ x = 200/3 หรือประมาณ 66.67 รวมพจน์คล้ายกันได้ 30x = 2000 และ 2000/30 ลดทอนเหลือ 200/3 ซึ่งไม่มีรูปทศนิยมที่แน่นอน
คำตอบคือ x = (−34 + √2941)/21 และ x = (−34 − √2941)/21 ไม่มีคู่จำนวนเต็มใดที่คูณกันได้ −1785 และบวกกันได้ 68 จึงต้องใช้สูตรกำลังสอง
คำตอบ: X = −10.26 จัดรูปสัมประสิทธิ์ได้ 500/27 ลบ 2210 ออกได้ 190 = −(500/27)X และเครื่องหมายลบยังอยู่เพราะ 2400 มากกว่า 2210
คำตอบคือ x = 16 บวกตัวเศษได้ 400/x = 25 แล้วคูณไขว้ คำตอบนี้นับว่ามีส่วนขนาด 25 กี่ส่วนพอดีใน 400
คำตอบคือ t = 20 ลบ 100t ออกเหลือ 150t = 3000 อัตราที่เร็วกว่าจึงต้องใช้เวลา 20 หน่วยเพื่อไล่ตามค่าคงที่ที่นำอยู่ 3000 ให้ทัน
คำตอบ: x = 5120/3 หรือประมาณ 1706.67 เนื่องจาก 1.5 = 3/2 การหารด้วย 1.5 จึงเท่ากับการคูณด้วย 2/3 ซึ่งเก็บคำตอบไว้เป็นทศนิยมซ้ำที่แน่นอน
คำตอบคือ x = (−1 + √7)/5 และ x = (−1 − √7)/5 ดิสคริมิแนนต์เท่ากับ 700 การดึง √100 ออกมาทำให้ 10√7 ส่วน 50 กลายเป็นรูปอย่างต่ำ
คำตอบจริง: x = ±√((√5 − 1)/5) หรือประมาณ 0.497 การแทน u = x² ให้ u = (−1 ± √5)/5 และรากที่เป็นลบให้คำตอบจินตภาพอีกสองค่า
คำตอบ: x = 2/3 เป็นรากสามชั้น ข้างซ้ายคือ (3x − 2)³ พอดี เพราะ 27x³ = (3x)³ และ 8 = 2³ โดยพจน์กลางตรงกับ −3a²b และ +3ab²
คำตอบ: x = 216.809 เศษส่วน 0.05/0.95 ลดทอนได้เป็น 1/19 พอดี สมการจึงยุบเหลือ 228.22 = (20/19)x ได้ x = 228.22 คูณ 19/20
x = 298/13 = 22.9231 รวบพจน์ได้ 1.3x = 29.8 และเมื่อกำจัดทศนิยมจะเห็นว่าค่าที่แน่นอนคือ 298/13 ซึ่งเป็นทศนิยมไม่รู้จบ
คำตอบคือ x ≈ 281.46 การรวบพจน์ x ให้ 1.01543461x = 285.8 เพราะเศษส่วนค่าธรรมเนียม 0.0152/0.9848 ก็เป็นเพียงสัมประสิทธิ์อีกตัวหนึ่งของ x
คำตอบ: x = 294.9308 ไม่ใช่ 111.241 อย่างที่บางแห่งอ้าง ตัวประกอบ 1.52% สองตัวคูณกัน สัมประสิทธิ์จึงเหลือแค่ 0.00023461 และ x แทบไม่ขยับจาก 295
x = 2981/5.3043 = 562.00 บวก x เข้าทั้งสองข้างได้ 2981 = 5.3043x ดังนั้น x = ยอดรวม/(1 + อัตราส่วน) และส่วนที่เหลือ 2419.00 ก็เป็น 4.3043 เท่าของ x พอดี
คำตอบคือ x = 1 และ x = 2 เส้นตรงตัดเส้นโค้งเลขชี้กำลังที่คอนเวกซ์ได้ไม่เกินสองครั้ง เมื่อพบรากจำนวนเต็มทั้งสองแล้ว จึงพิสูจน์ได้ว่าค้นครบแล้ว
รากคือ x = 1 และ x = 1/3 มอง (2x − 1)² − x² ให้เป็นผลต่างกำลังสอง a² − b² แยกตัวประกอบได้ (x − 1)(3x − 1) แล้วใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์
x = 1/2 หรือ x = −7/3 สมการอยู่ในรูปแยกตัวประกอบแล้ว จึงให้แต่ละวงเล็บเท่ากับศูนย์แยกกัน แล้วแก้สมการเชิงเส้นสองสมการที่ได้
คำตอบคือ x ≤ 4 หรือ (−∞, 4] บวก 3 เพื่อย้อนการลบ แล้วหารด้วย 2 ซึ่งเป็นบวก ทิศทางของอสมการจึงไม่เปลี่ยน
คำตอบคือ x = 2 และ x = 4/3 ทั้งสองพจน์เป็นกำลังสองอยู่แล้ว การแยกเป็น (A − B)(A + B) จึงให้ตัวประกอบเชิงเส้นสองตัวคือ x − 2 และ 3x − 4 ทันที
คำตอบคือ x < 51/28 หรือประมาณ 1.8214 การคูณทุกพจน์ด้วย ค.ร.น. 12 กำจัดเศษส่วนทั้งสองพร้อมกัน เปลี่ยนโจทย์เป็น 24x − 15 < 36 − 4x
คำตอบคือ x > −1/2 การคูณด้วย ค.ร.น. 12 กำจัดเศษส่วนทั้งสองพร้อมกัน และเนื่องจาก 12 เป็นบวก เครื่องหมายอสมการจึงไม่กลับทิศเลย
คำตอบคือ x > −4 หลังกระจายวงเล็บ พจน์ x จะไปรวมอยู่ทางขวาได้ −4 < x แล้วจึงอ่านใหม่โดยเขียนตัวแปรไว้ข้างหน้า
คำตอบคือ x < 7/10 รวบพจน์ x ไว้ทางซ้ายและเศษส่วนไว้ทางขวา แล้วบวก 1/2 กับ 1/5 บนตัวส่วนร่วม 10
คำตอบคือ x ≤ 0 วงเล็บมีเครื่องหมายลบนำหน้า พจน์ข้างในทั้งสองจึงเปลี่ยนเครื่องหมาย ได้ 2x − x + 1 ซึ่งยุบเหลือ x + 1 ≤ 1
คำตอบคือ x > 5 ลบ x ออกเหลือ x + 1 > 6 แล้วลบ 1 จุดขอบ x = 5 ทำให้ทั้งสองข้างเท่ากับ 11 จึงถูกตัดออกอย่างถูกต้อง
คำตอบคือ x > 6 ลบ x ออกจากทั้งสองข้างเหลือ x + 1 > 7 แล้วลบ 1 เนื่องจากไม่มีการหารด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายจึงไม่กลับทิศเลย
คำตอบคือ x = 72.3 คำนวณ 13×18 = 234 และ 6×4.4 = 26.4 ก่อนแตะ x สมการจึงยุบเหลือ 2x + 260.4 = 405 ในขั้นตอนเดียว
คำตอบคือ x = 4 ลบ 2 ออกจากทั้งสองข้างได้ 2x = 8 แล้วหารด้วย 2 การย้อนการบวกก่อนการคูณคือสิ่งที่ทำให้โจทย์นี้ง่าย
คำตอบคือ x = −μ / (2(1 + λ)) เมื่อ λ ไม่เท่ากับ −1 ที่ λ = −1 พจน์ x จะตัดกันหมด ทำให้ไม่มีคำตอบ เว้นแต่ μ = 0 ซึ่งจะทำให้ x ทุกค่าใช้ได้
คำตอบคือ x = −μ/(2(1 + λ)) เมื่อใดก็ตามที่ λ ≠ −1 ถ้า λ = −1 พจน์ x จะหายไป: x จริงทุกค่าใช้ได้เมื่อ μ = 0 และไม่มีคำตอบเมื่อ μ ≠ 0
x = 2 การกระจาย (2x + 3)² ทำให้พจน์ 4x² ตัดกันหมด สมการที่ดูเหมือนกำลังสองจึงยุบเหลือสมการเชิงเส้น 12x + 9 = 51 − 9x
คำตอบคือ x = 2, y = 1 แก้สมการที่สองให้ได้ x = y + 1 แทนลงในสมการแรกได้ 5y + 2 = 7 แล้วแทนย้อนกลับเพื่อหา x
คำตอบคือ x = 4 ลบ 5 ออกจากทั้งสองข้างได้ 2x = 8 หารด้วย 2 ได้ x = 4 และเมื่อแทนกลับก็ได้ 13 พอดีตามที่โจทย์กำหนด
คำตอบคือ x = (1 + √3)/2 และ (1 − √3)/2 ดิสคริมิแนนต์ 12 ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ รากจึงเป็นจำนวนอตรรกยะ และแยกตัวประกอบไม่ได้
คำตอบคือ x = 1 และ x = 3/2 เมื่อสัมประสิทธิ์นำเป็น 2 ให้แตก −5x โดยใช้ตัวประกอบของ 2 × 3 = 6 ที่บวกกันได้ −5 นั่นคือ −2 และ −3
รากคือ x = 3 และ x = −5/2 หาจำนวนสองจำนวนที่มีผลคูณ ac = −30 และผลบวก −1 (คือ 5 กับ −6) แตกพจน์กลาง แล้วแยกตัวประกอบด้วยการจัดกลุ่ม
รากคือ x = 2 และ x = −3/2 หาจำนวนสองจำนวนที่มีผลคูณ ac = −12 และผลบวก −1 คือ 3 กับ −4 แตก −x เป็น 3x − 4x แล้วแยกตัวประกอบด้วยการจัดกลุ่มเป็น (2x+3)(x−2)
คำตอบคือ x < −1 หรือ x > 1/2 การแยก 2x² + x − 1 เป็น (2x − 1)(x + 1) เผยรากทั้งสอง และพาราโบลาหงายจะเป็นบวกนอกช่วงระหว่างราก
คำตอบคือ y ≤ (40 − 3.8x)/7.7 หรือราว y ≤ 5.19 − 0.49x การหารด้วย 7.7 ซึ่งเป็นบวกทำให้ทิศทางคงเดิม บริเวณคำตอบจึงอยู่ใต้เส้นขอบ
คำตอบคือ x > log ฐาน 4 ของ 3 × 10⁹ หรือราว 15.74 จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดจึงเป็น 16 เนื่องจาก 4ˣ เป็นบวกเสมอ เครื่องหมายอสมการจึงไม่กลับทิศเลย
คำตอบคือ x = −10/7 หรือประมาณ −1.4286 การกระจาย −2 เข้าไปใน (2 − 5x) ให้ −4 + 10x สมการจึงกลายเป็น 3x − 9 = 1 + 10x นั่นคือ −10 = 7x
คำตอบคือ x = 27 พอดี และ x ประมาณ 1.15082 การใส่ลอการิทึมลดรูปเป็น ln(x)/x = ln(3)/9 ซึ่งเป็นเส้นโค้งที่ตัดกับเส้นแนวนอนสองครั้ง
คำตอบคือ x < 0.0000020000004 หรือ x > 14.3704368 ฟังก์ชันคอนเวกซ์ 3ˣ − 500001x ดิ่งลงต่ำกว่าศูนย์เพียงช่วงเดียว เส้นตรงจึงถูกตัดที่จุดพอดีสองจุด
คำตอบคือ x = 5 + 3^(49/32) หรือประมาณ 10.3776 แยกลอการิทึมออกมาก่อน แปลงเป็นรูปเลขชี้กำลัง แล้วยืนยันว่า x > 5 เพื่อให้ลอการิทึมนิยามได้
คำตอบคือ x = 5.455/32.63 หรือประมาณ 0.16718 ลบค่าคงตัวออกก่อนแล้วจึงหาร สองการดำเนินการ และไม่ต้องกำจัดทศนิยมเลย
คำตอบคือ x = 10.455/32.63 = 0.32041 ซึ่งปัดเป็น 0.3204 ไม่ใช่ 0.3203 เพราะทศนิยมตำแหน่งที่ห้าเป็น 1 ตำแหน่งที่สี่จึงปัดลง
คำตอบคือ X = 27 การคูณไขว้ให้ 3150 + 54X = 7200 − 96X ดังนั้น 150X = 4050 และทั้งสองข้างของสมการเดิมจะเท่ากับ 32
คำตอบคือ −1 < k < 1 การหารด้วย 36 ซึ่งเป็นบวกเหลือ 1 − k² > 0 และ k² < 1 หมายความว่า k อยู่ห่างจากศูนย์ไม่ถึงหนึ่งหน่วยบนเส้นจำนวน
x = 1800 + 900√7 = 4181.18 หรือ x = 1800 − 900√7 = −581.18 ดิสคริมิแนนต์ 22680000 เท่ากับ (1800√7)² รากทั้งสองจึงจัดรูปได้สวยงาม
คำตอบคือ a = −3 และ a = −5 ย้าย −45 ข้ามไป หารสมการทั้งก้อนด้วยตัวประกอบร่วม 3 แล้วแยก a² + 8a + 15 เป็น (a + 3)(a + 5)
รากคือ x = 0, x = −2 (รากซ้ำสองชั้น) และ x = 4/3 การจัดกลุ่มใช้ไม่ได้กับพหุนามกำลังสี่นี้ ต้องใช้รากตรรกยะ x = −2 แล้วหารเพื่อให้ได้การแยกตัวประกอบที่แท้จริง
มีคำตอบเดียวคือ x = 4/9 ผลคูณทั้งสองก้อนมี 9x² อยู่ การกระจายจึงทำให้พจน์กำลังสองตัดกัน สิ่งที่ดูเหมือนสมการกำลังสองจึงเป็นสมการเชิงเส้นจริง ๆ
คำตอบ: ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม รากจริงคือ x = 8 ± (14)^(1/4)/3 หรือราว 8.6448 กับ 7.3552 การหารด้วย 7³ เหลือ (3x − 24)⁴ = 14 ซึ่งไม่ใช่กำลังสี่สมบูรณ์
คำตอบคือ x ≥ 1 การบวกสัมประสิทธิ์ 3 กับ −2 เหลือ x ตัวเดียว อสมการจึงลดรูปเป็น x − 1 ≥ 0 และเหลืออีกเพียงขั้นเดียว
คำตอบคือ x > 1 กระจาย 2 เข้าไปใน x − 2 ได้ 2x − 4 ลบ 2x ออกจากทั้งสองข้าง แล้ว x ที่เหลือตัวเดียวก็ไม่ต้องหารเลย
คำตอบ: x = 3 เป็นรากซ้ำสองชั้น เมื่อให้ u = 3x − 5 สมการจะเป็น u² − 8u + 16 = (u−4)² = 0 ดังนั้น u = 4 และ 3x = 9
คำตอบคือ x = (5 + √43)/3 และ x = (5 − √43)/3 การคูณตลอดด้วย x เปลี่ยนสมการเศษส่วนให้เป็นสมการกำลังสอง 3x² − 10x − 6 = 0
คำตอบคือ x > 15 การลบ 2x ทำให้เหลือสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 พอดี หลังย้ายค่าคงตัว 15 ข้ามไปก็อ่านคำตอบได้ทันที
คำตอบคือ x < 4 การคูณตลอดด้วย 4 ให้ 3x + 4 > 8x − 16 และการรวบพจน์ไว้ทางขวาช่วยให้ไม่ต้องหารด้วยจำนวนลบเลย
คำตอบคือ x = 10 ไม่ใช่ 25/3 ข้างขวาเท่ากับ 35 ดังนั้น 3x = 30 ค่าคงตัวที่เท่ากันทั้งสองข้างตัดกันไป และไม่เคยเข้าไปในการหารเลย
คำตอบคือ x = −7 เพียงคำตอบเดียว ข้างขวาเป็นบวกไม่ได้เลย เงื่อนไข 3x + 5 ≤ 0 จึงบังคับให้ x ≤ −5/3 และต้องตรวจเพียงกรณีเดียว
คำตอบคือ x = 5 ลบ 7 ที่ถูกบวกเข้ามาเป็นลำดับสุดท้ายออกก่อน เหลือ 3x = 15 แล้วหารด้วย 3 ที่คูณ x มาตั้งแต่แรก จากนั้นแทนกลับเพื่อตรวจ
คำตอบคือ x < 2/3 ลบ 3x เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของ x ยังเป็นบวก ลบ 7 แล้วหารด้วย 3 วิธีนี้ไม่ต้องกลับเครื่องหมายในขั้นตอนใดเลย
คำตอบคือ x < 3/4 ลบ 3x เพื่อให้สัมประสิทธิ์ยังเป็นบวก ลบ 6 ได้ 3 > 4x แล้วหารด้วย 4 และอ่านอสมการกลับด้าน
คำตอบคือ x = 4 และ x = −4 เมื่อไม่มีพจน์กลาง เราแยก x² = 16 ออกมาแล้วถอดรากได้ทันที แต่เครื่องหมายบวกลบเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้
x = 0 หรือ x = 1/3 สมการไม่มีพจน์ค่าคงตัว x จึงเป็นตัวประกอบร่วม ถ้าหารทั้งสองข้างด้วย x แทน จะทำลายรากที่ x = 0 ไปอย่างเงียบ ๆ
คำตอบคือ x = (−5 + √97)/6 และ (−5 − √97)/6 เนื่องจาก 97 เป็นจำนวนเฉพาะและไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ รากจึงเป็นอตรรกยะและแยกตัวประกอบไม่ได้
คำตอบคือ x < 0 เขียนทุกพจน์บนตัวส่วนร่วม 6 คูณตลอดด้วย 6 รวมพจน์คล้ายกันได้ −12x > 0 แล้วหารด้วย −12 พร้อมกลับเครื่องหมายอสมการ
รากคือ x ≈ −3.1660 และ x ≈ 2.9426 ผลรวม −0.2234 เท่ากับ −b/a และผลคูณ −9.3160 เท่ากับ c/a ซึ่งยืนยันคำตอบทศนิยมทั้งสองพร้อมกัน
รากคือ x ≈ −2.6457 และ x ≈ 2.5303 รูปจุดยอดคือ −4.4912(x + 0.05769)² + 30.0809 ดังนั้น x + 0.05769 = ±√(30.0809/4.4912) = ±2.5880 ซึ่งให้รากทั้งสอง
รากคือ x ≈ −2.1144 และ x ≈ 2.0515 การคูณตลอดด้วย −1 ให้ 4.6173x² + 0.2906x − 20.029 = 0 ซึ่งทำให้ทุกเครื่องหมายในสูตรเป็นบวก
คำตอบคือ m < 7/3 จัดกลุ่มค่าคงตัว 4 กับ 3 เป็น 7 และพจน์ตัวแปร −2m กับ −m เป็น −3m แล้วย้าย −3m ข้ามไปเพื่อเลี่ยงการกลับเครื่องหมาย
คำตอบคือ x = 1123/390 ≈ 2.879487 ลบ 0.68175 แล้วหารด้วย 4.9725 การเปลี่ยนเป็นเศษส่วนช่วยเลี่ยงความพลาดจากการปัดเศษเป็น 2.8791
คำตอบคือ x = 77273/19890 ≈ 3.885018 ลบ 0.68175 ได้ 19.31825 แล้วหารด้วย 4.9725 โดยเก็บเศษส่วนแบบแน่นอนไว้ก่อนปัดเศษ
คำตอบคือ x > −7 ทางขวา +6x กับ −6x ตัดกัน เหลือแต่ค่าคงตัว −12 และการหารด้วย −4 ในขั้นสุดท้ายทำให้เครื่องหมายอสมการกลับทิศ
คำตอบคือ x ≥ −6 การกระจายทั้งสองข้างให้ 4x + 4 ≥ 3x − 2 และเนื่องจากมีแต่การบวกกับการลบ เครื่องหมายอสมการจึงไม่เคยกลับทิศ
คำตอบคือ x = log ฐาน 4 ของ 80 หรือประมาณ 3.1610 เนื่องจาก 80 ไม่ใช่กำลังของ 4 การใส่ลอการิทึมแล้วหาร ln 80 ด้วย ln 4 จึงให้ทั้งคำตอบแบบแน่นอนและแบบทศนิยม
รากคือ x = −25 ± 5√34 หรือประมาณ 4.154759 กับ −54.154759 รวบได้ 100x หารสมการด้วย 2 เหลือ x² + 50x − 225 = 0 แล้วใช้สูตรกำลังสอง
x = 3/10 หรือ x = −11/4 ดิสคริมิแนนต์ 14884 เท่ากับ 122² ซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์ รากจึงเป็นจำนวนตรรกยะ และ 40x² + 98x − 33 แยกตัวประกอบได้เป็น (10x − 3)(4x + 11)
คำตอบคือ x = 125/7 หรือประมาณ 17.857 การหารได้ 750/42 และทั้งคู่มีตัวประกอบร่วม 6 เศษส่วนจึงลดทอนได้ครั้งเดียวแล้วหยุด
รากคือ x = 2.43 และ x = 1.23 ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวได้ 3x² − 11x + 9 = 0 แล้วใช้สูตรกำลังสองโดยมีดิสคริมิแนนต์ 121 − 108 = 13
x = 4402/73 หรือประมาณ 60.3014 การกระจายเครื่องหมายลบให้ 3.65x + 0.35 = 220.45 ดังนั้น 3.65x = 220.10 และผลหารไม่ใช่จำนวนกลม 60.3
x = 4405/73 หรือประมาณ 60.3425 หลังกระจายแล้วสมการอ่านได้เป็น 3.65x + 0.35 = 220.6 ดังนั้น 3.65x = 220.25 และการหารให้ทศนิยมที่ไม่รู้จบ
x = 4910/73 หรือประมาณ 67.2603 วงเล็บกระจายออกเป็น −0.35x + 0.35 เหลือ 3.65x = 245.50 และเนื่องจาก 73 เป็นจำนวนเฉพาะ คำตอบจึงเป็นทศนิยมที่ไม่รู้จบ
คำตอบคือ x = 126618/1825 ≈ 69.379726 การกระจาย −0.35 ให้ผลเป็น +0.35 สมการจึงลดรูปเป็น 3.65x + 0.35 = 253.586
คำตอบคือ x = 55617/730 ≈ 76.187671 หลังกระจายแล้วสมการกลายเป็น 3.65x + 0.35 = 278.435 ดังนั้น x = 278.085/3.65
x = 8 การกระจายให้ −60 + 3x สมการจึงกลายเป็น 7x − 60 = −4 บวก 60 แล้วหารด้วย 7 ได้ x = 8 และ 32 − 36 = −4 ยืนยันคำตอบ
คำตอบคือ x = −8 ลบ 4x เพื่อรวบตัวแปรไว้ทางขวา ลบ 9 แล้วหารด้วย 2 เมื่อตรวจแล้วทั้งสองข้างมีค่าเท่ากับ −39
คำตอบคือ x < 2 บวก 2x เข้าทั้งสองข้างได้ 6x + 8 < 20 แล้ว 6x < 12 การหารด้วย 6 ซึ่งเป็นบวกจึงไม่เปลี่ยนทิศทางของอสมการ
คำตอบคือจำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น x = 1/2 ข้างซ้ายแยกตัวประกอบได้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ (2x − 1)² ซึ่งเป็นศูนย์เฉพาะที่รากซ้ำ x = 1/2 เท่านั้น
คำตอบคือ x = (1 + √33)/8 และ x = (1 − √33)/8 เนื่องจาก 33 = 3 × 11 ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง กรณฑ์จึงจัดรูปต่อไม่ได้และเศษส่วนคงรูปเดิม
ดิสคริมิแนนต์คือ 256 − 112 = 144 ซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้น x = (−16 ± 12)/8 ให้ −1/2 และ −7/2 และพหุนามนี้ยังแยกตัวประกอบได้เป็น (2x+1)(2x+7)
คำตอบทั้งสองคือ x = −3/2 และ x = −7/2 ดิสคริมิแนนต์คือ 400 − 336 = 64 ซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์ รากทั้งสองจึงออกมาเป็นเศษส่วนแบบแน่นอน
คำตอบคือ x = 12 ในวงเล็บ 13x/4 − 11x/6 รวมกันได้ 17x/12 และเลข 17 นั้นตัดกับตัวหารพอดี เหลือสมการ 5.6 − x/4 = 2.6
คำตอบคือ x = 3 การกระจาย −2 เข้าไปใน x − 1 ได้ −2x + 2 สมการจึงกลายเป็น 7 − 2x = 1 แล้ว −2x = −6 และสุดท้าย x = −6 / −2 = 3
คำตอบคือ x ≤ −2 การกระจายให้ 3 − x/2 ≥ 4 จึงได้ −x/2 ≥ 1 และการคูณทั้งสองข้างด้วย −2 ทำให้เครื่องหมายพลิก ได้ x ≤ −2 ไม่ใช่ x ≥ −2
คำตอบคือ n = 12/5 = 2.4 การกระจายเครื่องหมายลบหน้าวงเล็บเปลี่ยน −(−5n + 1) เป็น +5n − 1 พจน์ n สองก้อนจึงบวกกันแทนที่จะหักล้างกัน
รากคือ x = −31/5 = −6.2 การหารทั้งสองข้างด้วย 5 ก่อนเปลี่ยนสมการเป็น x + 8 = 9/5 และเลี่ยงการกระจายเป็น 5x + 40 = 9 ไปได้เลย
คำตอบคือ x = (5ln3 − 2ln5)/ln15 ประมาณ 0.8398 ไม่ใช่ 1.037 ฐานที่ต่างกันบังคับให้ต้องใช้ลอการิทึม และ ln5 + ln3 ยุบรวมเป็น ln15 ได้อย่างสวยงาม
คำตอบคือ x = −2934271/5900 ≈ −497.334068 การเขียน 1 เป็น 113/113 รวม 5x/113 กับ x เข้าเป็น 118x/113 และค่าคงตัวที่ใหญ่บังคับให้รากติดลบมาก
x = 5399/5.8116 = 929.00 การกำจัดเศษส่วนให้ 5399 = 5.8116x ดังนั้น x = ผลรวม / (1 + อัตราส่วน) ส่วนที่เหลือ 4470.00 จึงเป็น 4.8116 เท่าของ x พอดี
คำตอบคือ x = 5 ไม่มีค่าคงตัวให้ย้าย การหารทั้งสองข้างด้วย 580 จึงจบโจทย์ และ 2900/580 ลดรูปได้ลงตัวเป็น 5
คำตอบคือ a < −2 หรือ a > 6/5 ดิสคริมิแนนต์ 256 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ให้ราก −2 และ 6/5 และพาราโบลาหงายขึ้นจึงเป็นบวกนอกช่วงระหว่างราก
คำตอบคือ w = −7z/2 รวมพจน์ w ไว้ข้างซ้ายและพจน์ z ไว้ข้างขวาจะได้ 2w = −7z แล้วหารด้วย 2 โดยไม่ต้องแตะเครื่องหมาย
คำตอบคือ x = 5 การลบ 2x เหลือ 3x − 4 = 11 บวก 4 ได้ 3x = 15 และหารด้วย 3 ได้ x = 5 ซึ่งทั้งสองข้างยืนยันเป็น 21
คำตอบคือ x = −2 และ x = 1/3 การมองเห็นว่า 49x² คือ (7x)² เปลี่ยนสมการเป็น A² − B² = 0 ซึ่งแยกเป็นสมการเชิงเส้นสองสมการแทนที่จะเป็นสมการกำลังสอง
คำตอบคือ x = 0.8 การกระจายทำให้ 25x² หักล้างกันทั้งสองข้าง สมการที่ดูเหมือนกำลังสองจึงยุบเหลือสมการเชิงเส้น −80x + 64 = 0
คำตอบแม่นตรงคือ x = −1 ลบ 7 ออกจากทั้งสองข้างได้ 5x = −5 แล้วหารด้วย 5 เมื่อแทนค่ากลับได้ 5(−1) + 7 = 2 คำตอบจึงถูกต้อง
คำตอบคือ x > −5/4 การรวม 5x กับ −2x ได้ 3x และการหารเศษส่วน −15/4 ด้วย 3 ลดรูปเป็น −5/4 โดยทิศทางของอสมการไม่เปลี่ยน
คำตอบคือ x = 2 และ x = −2 เมื่อไม่มีพจน์เชิงเส้น สามารถแยก x² = 4 แล้วถอดรากได้ตรง ๆ ซึ่งเร็วกว่าการใช้สูตรกำลังสองในกรณีนี้
คำตอบคือ x = 280 พอดี ช่องว่างของอัตราเป็นเพียง 0.05 และ 14/0.05 เป็นจำนวนเต็ม เพราะการหารด้วย 0.05 ก็คือการคูณด้วย 20
คำตอบคือ x = 14/0.17 ประมาณ 82.35 พจน์ x ทั้งสองเกือบหักล้างกันหมด เหลือเพียง 0.17x นี่คือเหตุผลที่ค่าคงตัวเล็ก ๆ ให้คำตอบขนาดใหญ่
คำตอบคือ p = −7 การกระจายทั้งสองข้างให้ 30 + 6p = 7p + 37 และการลบ 6p ทำให้ p ยืนอยู่ลำพังโดยไม่ต้องมีขั้นหารเลย
คำตอบคือ x = −23 การกระจายให้ 6x − 30 = 7x − 7 เมื่อย้ายพจน์ x ไปขวาและค่าคงตัวไปซ้ายก็เหลือ x = −23 ในขั้นเดียว
รากจริงสามตัวคือประมาณ −0.91311, ประมาณ 1.11768 และ 36 พอดี เพราะ 36^18 = (6²)^18 = 6^36 ฟังก์ชัน ln(x)/x เป็นตัวควบคุมรากบวกทั้งสอง
คำตอบคือ X = 4347/50 = 86.94 รวมเศษส่วนสองก้อนเป็น 500/27 ลบ 2210 ออก และคราวนี้ข้างซ้ายเล็กกว่า X จึงออกมาเป็นบวก
คำตอบคือ g = 18 พจน์ g ทั้งสามยุบเหลือ 2g เพราะ g ที่เขียนเปล่า ๆ นับเป็น 1g สมการจึงกลายเป็น 2g = 36 ก่อนจะหารใด ๆ
คำตอบคือ p < (3 − √21)/6 หรือ 0 < p < 1/2 หรือ 1 < p < (3 + √21)/6 เพราะพหุนามกำลังห้าแยกตัวประกอบได้สวยเป็น p(p − 1)(2p − 1)(3p² − 3p − 1)
รากคือ x = (−5 + √61)/4 และ x = (−5 − √61)/4 กระจายวงเล็บได้ 4x² + 10x − 9 = 0 แล้วหารสูตรกำลังสองด้วย 2 ตลอด
คำตอบคือ s = −6 และ s = −64/7 การแทน u = s + 9 เปลี่ยนสมการเป็น 7u² − 20u − 3 = 0 ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น (7u+1)(u−3) = 0
คำตอบคือ k = 34.5 ลบ 300 ออกก่อนได้ 200k = 6900 และเนื่องจาก 6900 ไม่ใช่พหุคูณของ 200 คำตอบจึงลงตัวที่ครึ่งหนึ่งพอดี
ดิสคริมิแนนต์ของ x² − 37x + 345 เท่ากับ −11 จึงไม่มีคำตอบจริง ค่าสูงสุดของ 74x − 2x² คือ 684.5 ซึ่งขาดไปนิดเดียวจากเป้าหมาย 690
ลบ 4 ออกแล้วรวมเป็น (7 − 5x)/(3x − 2) < 0 จากนั้นใช้ตารางเครื่องหมาย คำตอบคือ x < 2/3 หรือ x > 7/5 การคูณทั้งสองข้างด้วย 3x − 2 ใช้ไม่ได้เพราะเครื่องหมายของมันเปลี่ยน
คำตอบคือ x ≥ 7 ลบ 4x บวก 15 แล้วหารด้วย 3 ซึ่งเป็นบวก เพราะตัวหารเป็นบวก เครื่องหมายอสมการจึงไม่ต้องพลิกเลย
คำตอบคือ x > −2 กระจาย 3 เข้าไปในวงเล็บ รวมพจน์ x ไว้ข้างซ้ายและค่าคงตัวไว้ข้างขวา แล้วหารด้วย 4 ซึ่งเป็นบวก
คำตอบคือ x = −5 การลบ 3x รวบตัวแปรไว้ข้างซ้ายเป็น 4x แล้วย้าย 8 ข้ามไปได้ 4x = −20 และหารด้วย 4 ก็จบ
คำตอบคือ x = −7.6 คูณทั้งสองข้างด้วย (x + 6) กระจาย −5(x + 6) = −5x − 30 แล้วตรวจว่ารากไม่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์
คำตอบคือ x = 2.8/1020000 ≈ 2.745098 × 10⁻⁶ สัมประสิทธิ์มหึมาทั้งสองข้างยุบรวมเป็น 1020000x รากจึงเล็กกว่า 1 ถึงหกอันดับขนาด
คำตอบคือ x = −0.0058737255 การบวก 10000x ทั้งสองข้างรวบสัมประสิทธิ์เป็น 1020000 และช่องว่างของค่าคงตัว −5991.2 ทำให้ x เล็กและติดลบ
คำตอบคือ x = 7300/13 ประมาณ 561.54 กระจายวงเล็บทั้งสอง รวมได้ 29200 − 27x ย้ายพจน์ x ไปข้างเดียวได้ 52x = 29200 แล้วหาร
คำตอบคือ x = 1.55095 เพราะจำนวนเดียวกันคูณ x และยืนอยู่ลำพัง การดึงตัวประกอบให้ x + 1 = 215900.9/84635.579 คือหารครั้งเดียวแทนสองขั้น
g > 5 การกระจายให้ 2g − 6 < 8g − 36 และการย้ายพจน์ g ไปข้างขวาทำให้สัมประสิทธิ์ยังเป็นบวก จึงได้ 30 < 6g โดยไม่ต้องพลิกเครื่องหมายเลย
คำตอบคือ x = 0 และ x = 2 ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวแล้วดึง 8x ออก ถ้าไปหารทั้งสองข้างด้วย x จะทำให้รากที่ x = 0 หายไปเงียบ ๆ
คำตอบคือ a − b = −4 หาค่า a และ b แยกกันไม่ได้จากสมการเดียว แต่ผลต่างของทั้งสองถูกตรึงไว้ด้วยการลบ 9 ออกจากทั้งสองข้าง
รากคือ x = 5/3 และ x = 1/3 สมการอยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์อยู่แล้ว จึงแยก (x−1)² = 4/9 แล้วถอดรากทั้งสองเครื่องหมาย ดีกว่ากระจายออกเป็นสมการกำลังสอง
x = log ฐาน 9 ของ 252 = ln 252 / ln 9 = 2.5166 การคูณด้วย 12 แยก 9^x ออกมาได้ 252 ซึ่งไม่ใช่กำลังของ 9 จึงเลี่ยงลอการิทึมไม่ได้
x = 9127/1.934 = 4719.23 การคูณด้วย x แล้วบวก x ให้ 9127 = 1.934x ซึ่งก็คือกฎ x = ผลรวม/(1 + อัตราส่วน) โดยอัตราส่วนต่ำกว่า 1 อยู่นิดเดียว
คำตอบคือ x = 7517/7 ประมาณ 1073.86 หารทั้งสองข้างด้วย 100 แยกเศษส่วนออกมาได้ 0.08 = 3/(0.14(x − 806)) แล้วกลับเศษส่วนและบวก 806 คืน
x ≈ 1.2503 ผลคูณในวงเล็บทั้งสองก้อนมีตัวประกอบ 4 − 2x ร่วมกัน สัมประสิทธิ์รวมคือ 41.4 + 28 = 69.4 ทุกอย่างจึงยุบเหลือ 305.6 − 122.8x = 152.0621
คำตอบคือ Vout = 4.81748 สัมประสิทธิ์เชิงเส้น 96.844679 และ 97.109892 เกือบหักล้างกันหมด ทุกหลักจึงสำคัญ เมื่อใช้เศษส่วนแม่นตรงจะได้ −0.265213 V − 3.6354e-7 V³ + 1.2777 = 0
รากคือ −0.01062039, 0.02187147 และ 245.69974892 สองรากอยู่ใกล้ศูนย์และอีกรากใหญ่มาก การตรวจด้วยเวียตาเพียงอย่างเดียวจึงยืนยันรากเล็กไม่ได้
คำตอบคือ y > 3/8 กำจัดตัวส่วนทศนิยม 0.03, 0.5 และ 0.15 ด้วยการเขียนแต่ละผลหารเป็นเศษส่วน รวมพจน์คล้ายกัน แล้วหารด้วย 8 จะได้ y > 3/8
รากทั้งสี่คือ x = −1, 3/2, 2 − √3 และ 2 + √3 แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสี่ด้วยทฤษฎีบทรากตรรกยะและการหารสังเคราะห์ แล้วใช้สูตรกำลังสอง
ผลบวกของรากคือ −3 โดเมน x ≥ −5 ตัด x = −6 ทิ้ง ส่วนตัวประกอบที่เป็นรากให้รากเพิ่มมาอีกตัวคือ x = −5 รากจึงเป็น 2 กับ −5
การทำตัวส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะให้ x = 2 + √3 และ y = 2 − √3 ดังนั้น x + y = 4 และ xy = 1 เอกลักษณ์สมมาตรจึงให้ x² + y² = 14, x³ + y³ = 52 และ 4x² + 7xy + 4y² = 63
อย่างละหนึ่งดอกราคา 6.00 ขาว 2 บวกเหลือง 1 ราคา 5 ขาว 2 บวกแดง 3 ราคา 10.50 และเหลือง 3 บวกแดง 2 ราคา 11 แก้ด้วยวิธีแทนค่า