จงแก้สมการ 1/((x + 1)(x + 3)) + 9/((x − 1)(x + 5)) = −1

Step-by-step solution

1. 1

   กระจายตัวส่วนทั้งสองแล้วมองหาส่วนกำลังสองที่ใช้ร่วมกันได้ คู่ตัวประกอบมีผลบวกเท่ากัน คือ $1+3=(-1)+5=4$

   $(x+1)(x+3)=x^{2}+4x+3,\qquad (x-1)(x+5)=x^{2}+4x-5$

   การให้ $v=x^{2}+4x$ ทำให้ตัวส่วนทั้งสองเป็นเชิงเส้นใน $v$

2. 2

   เขียนใหม่ในรูป v

   $\frac{1}{v+3}+\frac{9}{v-5}=-1$

3. 3

   กำจัดตัวส่วน

   $(v-5)+9(v+3)=-(v+3)(v-5)$

   $10v+22=-\left(v^{2}-2v-15\right)=-v^{2}+2v+15$

   $v^{2}+8v+7=0$

4. 4

   แก้หา v

   $(v+1)(v+7)=0\quad\Longrightarrow\quad v=-1\ \text{หรือ}\ v=-7$

5. 5

   ย้อนกลับทีละค่า แล้วตัดค่าที่เป็นไปไม่ได้ทิ้ง

   $v=-1$ ให้ $x^{2}+4x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{-4\pm\sqrt{12}}{2}=-2\pm\sqrt3$ ซึ่งเป็นจำนวนจริงทั้งคู่

   $v=-7$ ให้ $x^{2}+4x+7=0$ มีดิสคริมิแนนต์ $16-28=-12<0$ จึงไม่มีรากจริง

   $\boxed{x=-2+\sqrt3\ \text{หรือ}\ x=-2-\sqrt3}$

6. 6

   ตรวจโดเมนและตรวจคำตอบ ค่าที่ต้องยกเว้นคือ $x=-1,-3,1,-5$ ส่วนราก $-2\pm\sqrt3\approx -0.268$ และ $-3.732$ เลี่ยงค่าเหล่านั้นได้ทั้งหมด ✓ ตรวจที่ $x=-2+\sqrt3$ ตรงนี้ $v=x^{2}+4x=-1$ ข้างซ้ายจึงเป็น $\tfrac{1}{2}+\tfrac{9}{-6}=0.5-1.5=-1$ ✓