จงแก้อสมการ log ฐาน 5 ของ (x - 3 เท่าของรากที่สองของ x + 32) น้อยกว่า 2 เท่าของ log ฐาน 5 ของ (รากที่สองของ x + 2) แล้วให้คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด

Step-by-step solution

1. 1

   ตรึงโดเมน รากบังคับให้ $x\ge0$ เมื่อให้ $t=\sqrt{x}\ge0$ อาร์กิวเมนต์ตัวแรกคือ $t^2-3t+32$ ซึ่งมีดิสคริมิแนนต์ $9-128=-119<0$ และสัมประสิทธิ์นำเป็นบวก จึง เป็นบวกเสมอ ส่วนอาร์กิวเมนต์ตัวที่สอง $\sqrt{x}+2\ge2>0$ เช่นกัน โดเมนจึงเป็น $x\ge0$ เฉย ๆ และจะไม่มีคำตอบใดหล่นหายไปในภายหลัง

2. 2

   ดึงสัมประสิทธิ์ 2 เข้าไปในลอการิทึม ใช้ $k\log_b u=\log_b u^k$

   $2\log_5(\sqrt{x}+2)=\log_5\left((\sqrt{x}+2)^2\right)$

   ตอนนี้ทั้งสองข้างเป็นลอการิทึมเดี่ยวที่มีฐานเดียวกัน ซึ่งเป็นรูปเดียวที่นำอาร์กิวเมนต์มาเทียบกันตรง ๆ ได้

3. 3

   ถอดลอการิทึมทิ้ง เนื่องจากฐาน $5>1$ ฟังก์ชัน $\log_5$ จึงเป็น ฟังก์ชันเพิ่ม อสมการระหว่างลอการิทึมจึงสมมูลกับอสมการเดียวกันระหว่างอาร์กิวเมนต์ (ทิศทางคงเดิม ถ้าฐานน้อยกว่า 1 จะกลับด้าน)

   $x-3\sqrt{x}+32 < (\sqrt{x}+2)^2$

4. 4

   กระจายแล้วตัดกัน ข้างขวาคือ $x+4\sqrt{x}+4$ และพจน์ $x$ ตัดกันทั้งสองข้าง

   $-3\sqrt{x}+32 < 4\sqrt{x}+4 \quad\Longrightarrow\quad 28 < 7\sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}>4$

5. 5

   ยกกำลังสองอย่างปลอดภัย ทั้งสองข้างไม่เป็นลบ การยกกำลังสองจึงรักษาทิศทางของอสมการไว้

   $x>16$

6. 6

   อ่านจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดซึ่งมากกว่า $16$ อย่างเข้มงวดคือ $x=17$ และอยู่ในโดเมน $x\ge0$ ด้วย ตรวจดู: $17-3\sqrt{17}+32\approx36.63$ ขณะที่ $(\sqrt{17}+2)^2\approx37.4924$ อสมการจึงเป็นจริงที่ $x=17$ แต่เป็นเท็จที่ $x=16$ (ทั้งสองข้างเท่ากับ $36$)