แก้อสมการ (3 × 10⁹)/4ˣ < 1 แล้วให้ค่าจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดของ x ที่สอดคล้อง

Step-by-step solution

1. 1

   กำจัดตัวส่วนอย่างปลอดภัย เลขชี้กำลัง $4^x$ เป็นบวกอย่างเข้มสำหรับ $x$ จริงทุกค่า การคูณทั้งสองข้างด้วยมันจึงไม่ทำให้อสมการกลับทิศ:

   $3\times10^9<4^x,\qquad\text{นั่นคือ}\qquad 4^x>3\times10^9$

   นี่คือเหตุผลทั้งหมดที่ไม่ต้องแยกกรณีในโจทย์นี้ ต่างจากอสมการที่มีพหุนามอยู่ในตัวส่วน

2. 2

   ใส่ลอการิทึมฐาน 4 เนื่องจาก $4>1$ ฟังก์ชัน $\log_4$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม จึงรักษาทิศทางไว้:

   $x>\log_4\!\left(3\times10^9\right)$

3. 3

   แปลงด้วยสูตรเปลี่ยนฐาน เครื่องคิดเลขไม่มี $\log_4$ จึงใช้

   $\log_4 N=\frac{\log_{10}N}{\log_{10}4}$

   สำหรับตัวเศษ ให้แยกผลคูณด้วยกฎของลอการิทึม:

   $\log_{10}\!\left(3\times10^9\right)=\log_{10}3+\log_{10}10^9=0.4771+9=9.4771$

4. 4

   หารด้วย log 4 เมื่อ $\log_{10}4=0.6020600$:

   $x>\frac{9.4771213}{0.6020600}=15.7411575\ldots$

   เซตคำตอบจริงจึงเป็น $x>15.7412$ หรือเขียนแบบแน่นอนคือ $x>\log_4\!\left(3\times10^9\right)$

5. 5

   อ่านจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดซึ่งมากกว่า $15.7412$ อย่างเข้มคือ

   $x=16$

   การประมาณอย่างเร็วยืนยันขนาดได้: $4^{15}=2^{30}\approx1.07\times10^9$ ซึ่งน้อยกว่า $3\times10^9$ ขณะที่ $4^{16}=2^{32}\approx4.29\times10^9$ ซึ่งมากกว่า

6. 6

   ตรวจทั้งสองฝั่งของจุดขอบ ที่ $x=16$: $\dfrac{3\times10^9}{4^{16}}=\dfrac{3\times10^9}{4.295\times10^9}=0.6985<1$ ✓ ที่ $x=15$: $\dfrac{3\times10^9}{1.074\times10^9}=2.7933>1$ ✗ และที่จุดขอบพอดี $x=15.7412$ ผลหารเท่ากับ $0.999941$ ✓