จงแก้อสมการประกอบ 8 < 60(1 + x)/7 < 9

Step-by-step solution

1. 1

   ทำนายก่อนว่าคำตอบจะอยู่ตรงไหน ที่ $x=0$ นิพจน์ตรงกลางมีค่า $\tfrac{60}{7}=8.571$ ซึ่งอยู่ ภายใน กรอบเป้าหมาย $(8,9)$ อยู่แล้ว ดังนั้น $x=0$ เป็นคำตอบ และช่วงคำตอบจะต้องคร่อมศูนย์ คือขอบหนึ่งเป็นลบ อีกขอบหนึ่งเป็นบวก

2. 2

   คูณทั้งสามส่วนด้วย 7 ตัวคูณเป็นบวก ทิศทางทั้งสองจึงคงเดิม

   $56<60(1+x)<63$

3. 3

   หารทั้งสามส่วนด้วย 60 พร้อมลดรูปไปด้วย

   $\frac{56}{60}<1+x<\frac{63}{60}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{14}{15}<1+x<\frac{21}{20}$

   ($56$ กับ $60$ มีตัวประกอบร่วม $4$ ส่วน $63$ กับ $60$ มีตัวประกอบร่วม $3$)

4. 4

   ลบ 1 ออกจากทั้งสามส่วน

   $\frac{14}{15}-\frac{15}{15}<x<\frac{21}{20}-\frac{20}{20}$

   $-\frac{1}{15}<x<\frac{1}{20}$

   ได้ขอบลบหนึ่งขอบและขอบบวกหนึ่งขอบ ตรงตามที่ทำนายไว้ และ $0$ อยู่ข้างในจริง ✓

5. 5

   เทียบกับโจทย์พี่น้องกัน การเลื่อนกรอบขึ้นหนึ่งหน่วยจาก $(7,8)$ เป็น $(8,9)$ ย้ายคำตอบจากช่วงที่เป็นลบทั้งหมด $\left(-\tfrac{11}{60},-\tfrac{1}{15}\right)$ มาเป็นช่วงที่มีศูนย์อยู่ข้างในนี้ กรอบเป้าหมายทุกหนึ่งหน่วยสมนัยกับความกว้าง $\tfrac{7}{60}$ ในแกน $x$ เพราะ $x$ เปลี่ยนไป $\tfrac{7}{60}$ ต่อการเปลี่ยนหนึ่งหน่วยของ $\tfrac{60(1+x)}{7}$

6. 6

   ตรวจปลายทั้งสองแบบแม่นตรง ที่ $x=-\tfrac{1}{15}$ ได้ $1+x=\tfrac{14}{15}$ และ $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{14}{15}=8$ ✓ ที่ $x=\tfrac{1}{20}$ ได้ $1+x=\tfrac{21}{20}$ และ $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{21}{20}=\tfrac{63}{7}=9$ ✓ ทั้งสองเป็นอสมการเข้ม ช่วงนี้จึงเปิดทั้งสองปลาย