จงแก้อสมการ (7x − 1)/(3x − 2) < 4 พร้อมอธิบายเหตุผลของแต่ละขั้น

Step-by-step solution

1. 1

   อย่าคูณทั้งสองข้างด้วย 3x − 2 ปริมาณ $3x-2$ เป็นบวกเมื่อ $x>\tfrac23$ และเป็นลบเมื่อ $x<\tfrac23$ การคูณอสมการด้วยนิพจน์ที่ไม่รู้เครื่องหมายถือว่าใช้ไม่ได้ เพราะมันจะรักษาทิศทางไว้บนส่วนหนึ่งของเส้นจำนวนแต่พลิกทิศทางบนอีกส่วนหนึ่ง วิธีที่ปลอดภัยคือย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวแล้วเทียบกับศูนย์

2. 2

   ลบ 4 ออกจากทั้งสองข้าง การบวกหรือลบค่าคงตัวทำได้เสมอ

   $\frac{7x-1}{3x-2}-4<0$

3. 3

   รวมเป็นเศษส่วนเดียว เขียน $4$ เป็น $\dfrac{4(3x-2)}{3x-2}$

   $\frac{7x-1-4(3x-2)}{3x-2}=\frac{7x-1-12x+8}{3x-2}=\frac{7-5x}{3x-2}<0$

4. 4

   หาจุดวิกฤต ตัวเศษเป็นศูนย์เมื่อ $7-5x=0$ นั่นคือ $x=\tfrac75$ ส่วนตัวส่วนเป็นศูนย์เมื่อ $x=\tfrac23$ จุดเหล่านี้แบ่งเส้นจำนวนออกเป็น $\left(-\infty,\tfrac23\right)$, $\left(\tfrac23,\tfrac75\right)$ และ $\left(\tfrac75,\infty\right)$

5. 5

   ทดสอบช่วงละหนึ่งจุด

   $x=0$ ได้ $\dfrac{7}{-2}<0$ ✓

   $x=1$ ได้ $\dfrac{2}{1}=2>0$ ✗

   $x=2$ ได้ $\dfrac{-3}{4}<0$ ✓

6. 6

   ประกอบคำตอบ พร้อมตัดสินจุดปลายแต่ละจุด อสมการเป็นแบบเข้ม ดังนั้น $x=\tfrac75$ (ซึ่งเศษส่วนเป็น $0$) จึงถูกตัดออก และ $x=\tfrac23$ ถูกตัดออกเพราะนิพจน์ไม่นิยามที่นั่น

   $\boxed{x<\dfrac23\quad\text{หรือ}\quad x>\dfrac75}$

7. 7

   ยืนยันกับอสมการเดิม ที่ $x=0$ ได้ $\tfrac{-1}{-2}=0.5<4$ ✓ ที่ $x=1$ ได้ $\tfrac{6}{1}=6\not<4$ ✗ ที่ $x=2$ ได้ $\tfrac{13}{4}=3.25<4$ ✓ สังเกตว่าการคูณไขว้แบบไม่คิดจะให้ $7x-1<12x-8$ นั่นคือ $x>\tfrac75$ ซึ่งถูกต้องบนกิ่งหนึ่ง แต่ตกช่วง $x<\tfrac23$ ไปทั้งช่วง ตรงตามที่เตือนไว้ในขั้นที่ 1