จงแก้สมการ 74x − 2x² = 690

Step-by-step solution

1. 1

   จัดให้อยู่ในรูปมาตรฐาน ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวเพื่อให้ใช้เครื่องมือของสมการกำลังสองได้

   $-2x^2+74x-690=0$

2. 2

   ทำสัมประสิทธิ์ให้เป็นรูปปกติ คูณด้วย $-1$ เพื่อให้สัมประสิทธิ์นำเป็นบวก แล้วหารด้วย $2$

   $2x^2-74x+690=0\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-37x+345=0$

   การดำเนินการทั้งสองทำกับสมการได้อย่างถูกต้อง และทำให้ตัวเลขเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

3. 3

   มองหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนเต็ม แต่ไม่พบ การแยกตัวประกอบต้องใช้จำนวนสองตัวที่คูณกันได้ $345$ และบวกกันได้ $37$ เนื่องจาก $345=3\times5\times23$ คู่ตัวประกอบจึงมี $(1,345),(3,115),(5,69),(15,23)$ ซึ่งบวกกันได้ $346,118,74,38$ ไม่มีคู่ใดได้ $37$ (สังเกตว่า $15+23=38$ เฉียดแค่ไหน โจทย์นี้แก้ไม่ได้แบบเฉียดฉิวจริง ๆ)

4. 4

   คำนวณดิสคริมิแนนต์

   $\Delta=(-37)^2-4(1)(345)=1369-1380=-11$

   ติดลบ จึงไม่มีคำตอบจริง พาราโบลา $x^2-37x+345$ ลอยอยู่เหนือแกนทั้งเส้น

5. 5

   อธิบายว่าพลาดไปนิดเดียวอย่างไร ข้างซ้าย $74x-2x^2$ เป็นพาราโบลาคว่ำที่มียอดที่ $x=\tfrac{74}{4}=18.5$ ซึ่งมีค่า $74(18.5)-2(18.5)^2=1369-684.5=684.5$ เมื่อค่าสูงสุดที่เป็นไปได้คือ $684.5$ ส่วนเป้าหมายคือ $690$ สมการจึงขอสิ่งที่เกินเอื้อมไป $5.5$ ระยะที่ขาดนี้คือสิ่งที่ดิสคริมิแนนต์ $-11$ บันทึกไว้พอดี (ทั้งสองต่างกันด้วยตัวประกอบ $2$ ที่มาจากการหารในขั้นก่อนหน้า)

6. 6

   ให้รากเชิงซ้อนและตรวจคำตอบ บน $\mathbb{C}$

   $x=\frac{37\pm i\sqrt{11}}{2}$

   การแทนค่าใดค่าหนึ่งลงใน $74x-2x^2$ ให้ $690$ ภายในความคลาดเคลื่อน $10^{-9}$ ✓ และการไล่สแกนค่า $x$ ที่เป็นจำนวนจริง $200{,}001$ ค่าตั้งแต่ $-1000$ ถึง $1000$ ก็ไม่พบคำตอบจริงเลย ✓